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3.「2026 江苏苏州姑苏期中改编」【模型提出】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为$90°$，三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组边对应相等时，模型中必定存在全等三角形.
(1)①如图1,在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,过点$C$作直线$DE$,$AD ⊥ DE$于点$D$,$BE ⊥ DE$于点$E$,求线段$AD$,$BE$与$DE$之间满足的数量关系.
②如图2,在等腰直角$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,过点$C$作直线$CE$,过点$A$作$AD ⊥ CE$于点$D$,过点$B$作$BE ⊥ CE$于点$E$,若$AD=5$,$BE=2$,则$DE$的长为
【模型初探】
(2)①如图3,在四边形$ABCD$中,$AC=BC$,$∠ ACB=∠ ADC=90°$,$CD=8$,则$△ BCD$的面积为
②如图4,在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$∠ AOB=90°$,分别以$BA$和$OB$为直角边作等腰$\mathrm{Rt}△ ABD$和等腰$\mathrm{Rt}△ OBC$,连接$DC$交$OB$的延长线于点$E$.判断$OA$与$BE$的数量关系,并证明.
【模型拓展】
(3)如图5,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=4$,$S_{△ ABC}=6$,以$AC$为直角边向右侧作一个等腰直角三角形$ACD$,连接$BD$,则$△ BCD$的面积为
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为$90°$，三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组边对应相等时，模型中必定存在全等三角形.
(1)①如图1,在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,过点$C$作直线$DE$,$AD ⊥ DE$于点$D$,$BE ⊥ DE$于点$E$,求线段$AD$,$BE$与$DE$之间满足的数量关系.
②如图2,在等腰直角$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,过点$C$作直线$CE$,过点$A$作$AD ⊥ CE$于点$D$,过点$B$作$BE ⊥ CE$于点$E$,若$AD=5$,$BE=2$,则$DE$的长为
3
.【模型初探】
(2)①如图3,在四边形$ABCD$中,$AC=BC$,$∠ ACB=∠ ADC=90°$,$CD=8$,则$△ BCD$的面积为
32
.②如图4,在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$∠ AOB=90°$,分别以$BA$和$OB$为直角边作等腰$\mathrm{Rt}△ ABD$和等腰$\mathrm{Rt}△ OBC$,连接$DC$交$OB$的延长线于点$E$.判断$OA$与$BE$的数量关系,并证明.
【模型拓展】
(3)如图5,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=4$,$S_{△ ABC}=6$,以$AC$为直角边向右侧作一个等腰直角三角形$ACD$,连接$BD$,则$△ BCD$的面积为
10或4
.答案
(1)①在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AD ⊥ DE$,$BE ⊥ DE$,$\therefore ∠ D=∠ E=90°$,$∠ ACD+∠ CAD=90°$,$∠ ACD+∠ BCE=90°$,$\therefore ∠ CAD=∠ BCE$,
在$△ CAD$和$△ BCE$中,$\begin{cases} ∠ D=∠ E, \\ ∠ CAD=∠ BCE, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ CAD≌△ BCE(\mathrm{AAS}),\therefore CD=BE,AD=CE$,
$\therefore DE=CD+CE=BE+AD$.
②3
(2)①32.
提示:过点$B$作$BH ⊥ DC$,交$DC$的延长线于点$H$(图略),可证$△ BHC≌△ CDA(\mathrm{AAS})$,$\therefore BH=CD=8$,
$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}CD· BH=\dfrac{1}{2}×8×8=32$.
②$OA=2BE$.
证明:如图,过点$D$作$DT ⊥ OB$,交$OB$的延长线于点$T$,连接$CT$.
同(1)①可得$△ DTB≌△ BOA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OA=BT,DT=OB=BC$,
$\because ∠ OBC=90°,∠ DTE=90°$,
$\therefore ∠ CBE=∠ DTE$,
又$\because ∠ CEB=∠ DET$,
$\therefore △ CEB≌△ DET(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=TE$,$\therefore OA=2BE$.
(3)10或4.
详解:如图1,$∠ CAD=90°$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,过点$D$作$DF ⊥ EA$,交$EA$的延长线于点$F$,连接$BD$,$CD$,$\because AB=AC$,$BC=4$,$AE ⊥ BC$,$\therefore CE=2$,
$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AE=6$,$\therefore AE=3$,
同(1)得$△ ACE≌△ DAF$,$\therefore AF=CE=2$,
$\therefore EF=2+3=5$,$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}BC· EF=\dfrac{1}{2}×4×5=10$.
如图2,$∠ ACD=90°$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,过点$D$作$DF ⊥ BC$,交$BC$的延长线于点$F$,连接$BD$,$AD$,
$\because AB=AC$,$BC=4$,$AE ⊥ BC$,$\therefore CE=2$,
$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AE=6$,$\therefore AE=3$,
同(1)得$△ AEC≌△ CFD$,$\therefore DF=CE=2$,
$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}BC· DF=\dfrac{1}{2}×4×2=4$.
综上所述,$△ BCD$的面积为10或4.
在$△ CAD$和$△ BCE$中,$\begin{cases} ∠ D=∠ E, \\ ∠ CAD=∠ BCE, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ CAD≌△ BCE(\mathrm{AAS}),\therefore CD=BE,AD=CE$,
$\therefore DE=CD+CE=BE+AD$.
②3
(2)①32.
提示:过点$B$作$BH ⊥ DC$,交$DC$的延长线于点$H$(图略),可证$△ BHC≌△ CDA(\mathrm{AAS})$,$\therefore BH=CD=8$,
$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}CD· BH=\dfrac{1}{2}×8×8=32$.
②$OA=2BE$.
证明:如图,过点$D$作$DT ⊥ OB$,交$OB$的延长线于点$T$,连接$CT$.
同(1)①可得$△ DTB≌△ BOA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OA=BT,DT=OB=BC$,
$\because ∠ OBC=90°,∠ DTE=90°$,
$\therefore ∠ CBE=∠ DTE$,
又$\because ∠ CEB=∠ DET$,
$\therefore △ CEB≌△ DET(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=TE$,$\therefore OA=2BE$.
(3)10或4.
详解:如图1,$∠ CAD=90°$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,过点$D$作$DF ⊥ EA$,交$EA$的延长线于点$F$,连接$BD$,$CD$,$\because AB=AC$,$BC=4$,$AE ⊥ BC$,$\therefore CE=2$,
$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AE=6$,$\therefore AE=3$,
同(1)得$△ ACE≌△ DAF$,$\therefore AF=CE=2$,
$\therefore EF=2+3=5$,$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}BC· EF=\dfrac{1}{2}×4×5=10$.
如图2,$∠ ACD=90°$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,过点$D$作$DF ⊥ BC$,交$BC$的延长线于点$F$,连接$BD$,$AD$,
$\because AB=AC$,$BC=4$,$AE ⊥ BC$,$\therefore CE=2$,
$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AE=6$,$\therefore AE=3$,
同(1)得$△ AEC≌△ CFD$,$\therefore DF=CE=2$,
$\therefore S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}BC· DF=\dfrac{1}{2}×4×2=4$.
综上所述,$△ BCD$的面积为10或4.
