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12.「2026北京五十六中期中，★☆」实数$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$x$的绝对值为$\sqrt{3}$，式子$x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}$的值是
$4\pm\sqrt{3}$
。答案
答案 $4\pm\sqrt{3}$
解析 $\because a,b$ 互为相反数,$c,d$ 互为倒数,$x$ 的绝对值为$\sqrt{3}$,$\therefore a+b=0,cd=1,x=\pm\sqrt{3}$,当 $x=\sqrt{3}$ 时,$x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}=3+(0+1)×\sqrt{3}+\sqrt{0}+\sqrt[3]{1}=3+\sqrt{3}+1=4+\sqrt{3}$;当 $x=-\sqrt{3}$ 时,$x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}=3+(0+1)×(-\sqrt{3})+\sqrt{0}+\sqrt[3]{1}=3-\sqrt{3}+1=4-\sqrt{3}$.
综上,$x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}$ 的值为 $4\pm\sqrt{3}$.
解析 $\because a,b$ 互为相反数,$c,d$ 互为倒数,$x$ 的绝对值为$\sqrt{3}$,$\therefore a+b=0,cd=1,x=\pm\sqrt{3}$,当 $x=\sqrt{3}$ 时,$x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}=3+(0+1)×\sqrt{3}+\sqrt{0}+\sqrt[3]{1}=3+\sqrt{3}+1=4+\sqrt{3}$;当 $x=-\sqrt{3}$ 时,$x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}=3+(0+1)×(-\sqrt{3})+\sqrt{0}+\sqrt[3]{1}=3-\sqrt{3}+1=4-\sqrt{3}$.
综上,$x^2+(a+b+cd)x+\sqrt{a+b}+\sqrt[3]{cd}$ 的值为 $4\pm\sqrt{3}$.
13.「2026江苏泰州靖江月考，★☆」对于实数$a,b(a≠b)$,定义: $\min\{a,b\} = \begin{cases} a(a＜b), \\ b(a＞b), \end{cases}$ 例如: $\min\{1,-2\}=-2$.已知 $\min\{\sqrt{29},a\}=a$, $\min\{\sqrt{29},b\}=\sqrt{29}$,且$a$和$b$为两个连续正整数,则$\sqrt{ab}-\min\{2,a\}$的值为________.
答案
答案 $\sqrt{30}-2$
解析 $\because \min\{\sqrt{29},a\}=a,\therefore \sqrt{29}＞a$,
$\because \min\{\sqrt{29},b\}=\sqrt{29},\therefore \sqrt{29}＜b,\therefore a＜\sqrt{29}＜b$,
$\because a$ 和 $b$ 为两个连续正整数,且 $5＜\sqrt{29}＜6,\therefore a=5$,
$b=6,\therefore \sqrt{ab}-\min\{2,a\}=\sqrt{5×6}-\min\{2,5\}=\sqrt{30}-2$.
解析 $\because \min\{\sqrt{29},a\}=a,\therefore \sqrt{29}＞a$,
$\because \min\{\sqrt{29},b\}=\sqrt{29},\therefore \sqrt{29}＜b,\therefore a＜\sqrt{29}＜b$,
$\because a$ 和 $b$ 为两个连续正整数,且 $5＜\sqrt{29}＜6,\therefore a=5$,
$b=6,\therefore \sqrt{ab}-\min\{2,a\}=\sqrt{5×6}-\min\{2,5\}=\sqrt{30}-2$.
14.「★☆」观察下表：
则下列结论:①$\sqrt{2.2801}=1.51$;②只有3个正整数$a$满足$15.2＜\sqrt{a}＜15.3$;③$\sqrt{23409}-\sqrt{23104}=1$;④$\sqrt{2.31}-1.51＜0$.其中正确的是
则下列结论:①$\sqrt{2.2801}=1.51$;②只有3个正整数$a$满足$15.2＜\sqrt{a}＜15.3$;③$\sqrt{23409}-\sqrt{23104}=1$;④$\sqrt{2.31}-1.51＜0$.其中正确的是
①②③
(填序号).答案
答案 ①②③
解析 ①$\because 15.1^2=228.01,\therefore 1.51^2=2.280\ 1$,
$\therefore \sqrt{2.280\ 1}=1.51$,故结论①正确;
②$\because 15.2^2=231.04,15.3^2=234.09,15.2＜\sqrt{a}＜15.3$,
$\therefore 231.04＜a＜234.09,\therefore$ 满足题意的正整数有 232,233,234,共 3 个,故结论②正确;
③$\because 15.3^2=234.09,15.2^2=231.04,\therefore 153^2=23\ 409$,
$152^2=23\ 104,\therefore \sqrt{23\ 409}=153,\sqrt{23\ 104}=152$,
$\therefore \sqrt{23\ 409}-\sqrt{23\ 104}=153-152=1$,故结论③正确;
④由 ① 可知 $\sqrt{2.280\ 1}=1.51,\therefore \sqrt{2.31}-1.51=\sqrt{2.31}-\sqrt{2.280\ 1}＞0$,故结论④错误.综上所述,正确的结论是①②③.
解析 ①$\because 15.1^2=228.01,\therefore 1.51^2=2.280\ 1$,
$\therefore \sqrt{2.280\ 1}=1.51$,故结论①正确;
②$\because 15.2^2=231.04,15.3^2=234.09,15.2＜\sqrt{a}＜15.3$,
$\therefore 231.04＜a＜234.09,\therefore$ 满足题意的正整数有 232,233,234,共 3 个,故结论②正确;
③$\because 15.3^2=234.09,15.2^2=231.04,\therefore 153^2=23\ 409$,
$152^2=23\ 104,\therefore \sqrt{23\ 409}=153,\sqrt{23\ 104}=152$,
$\therefore \sqrt{23\ 409}-\sqrt{23\ 104}=153-152=1$,故结论③正确;
④由 ① 可知 $\sqrt{2.280\ 1}=1.51,\therefore \sqrt{2.31}-1.51=\sqrt{2.31}-\sqrt{2.280\ 1}＞0$,故结论④错误.综上所述,正确的结论是①②③.
15.「★☆」如图,有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,若点B表示数$\sqrt{5}$,设点A所表示的数为$m$.
(1)实数$m$的值是
(2)求$(m+2)^2 + |m+1|$的值.
(3)在数轴上还有C,D两点,分别表示实数$c$和$d$,且$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数,求$2c+3d+8$的平方根.
(1)实数$m$的值是
$\sqrt{5}-2$
.(2)求$(m+2)^2 + |m+1|$的值.
(3)在数轴上还有C,D两点,分别表示实数$c$和$d$,且$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数,求$2c+3d+8$的平方根.
答案
解析 (1)$\sqrt{5}-2$.
(2)当 $m=\sqrt{5}-2$ 时,$(m+2)^2+|m+1|=(\sqrt{5}-2+2)^2+|\sqrt{5}-2+1|=5+\sqrt{5}-1=4+\sqrt{5}$.
(3)$\because |2c+4|$ 与 $\sqrt{d-4}$ 互为相反数,
$\therefore |2c+4|+\sqrt{d-4}=0$,
$\therefore 2c+4=0,d-4=0$,解得 $c=-2,d=4$,
$\therefore 2c+3d+8=2×(-2)+3×4+8=16$,
$\therefore 2c+3d+8$ 的平方根即 16 的平方根,为$\pm4$.
(2)当 $m=\sqrt{5}-2$ 时,$(m+2)^2+|m+1|=(\sqrt{5}-2+2)^2+|\sqrt{5}-2+1|=5+\sqrt{5}-1=4+\sqrt{5}$.
(3)$\because |2c+4|$ 与 $\sqrt{d-4}$ 互为相反数,
$\therefore |2c+4|+\sqrt{d-4}=0$,
$\therefore 2c+4=0,d-4=0$,解得 $c=-2,d=4$,
$\therefore 2c+3d+8=2×(-2)+3×4+8=16$,
$\therefore 2c+3d+8$ 的平方根即 16 的平方根,为$\pm4$.
16. 核心素养 运算能力 「2026 江苏南京鼓楼期中」【阅读理解】求$\sqrt{103}$的近似值(结果精确到0.01).
小丽是这样做的:
解:∵ $10＜\sqrt{103}＜11$, ∴ 设$\sqrt{103}=10+x(0＜x＜1)$,则$103=(10+x)^2$,即$103=100+20x+x^2$.
∵ $0＜x＜1$,∴ $0＜x^2＜1$,
∵ $x^2$比较小可以忽略不计,∴ $103≈100+20x$,
解得$x≈0.15$,即$\sqrt{103}$的近似值为10.15.
【分析比较】小强看了小丽的解法,想到了是否可以用$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$求$\sqrt{103}$的近似值.他的做法如下:
解:设$\sqrt{103}=11-x(0＜x＜1)$,则$103=(11-x)^2$,即……
请你继续完成小强的解答过程,并比较谁求出的近似值精确度更高($\sqrt{103}≈10.14889$).
【理解应用】请你思考两位同学的做法后,选择合适的方法,求$\sqrt{97}$的近似值(结果精确到0.01).
小丽是这样做的:
解:∵ $10＜\sqrt{103}＜11$, ∴ 设$\sqrt{103}=10+x(0＜x＜1)$,则$103=(10+x)^2$,即$103=100+20x+x^2$.
∵ $0＜x＜1$,∴ $0＜x^2＜1$,
∵ $x^2$比较小可以忽略不计,∴ $103≈100+20x$,
解得$x≈0.15$,即$\sqrt{103}$的近似值为10.15.
【分析比较】小强看了小丽的解法,想到了是否可以用$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$求$\sqrt{103}$的近似值.他的做法如下:
解:设$\sqrt{103}=11-x(0＜x＜1)$,则$103=(11-x)^2$,即……
请你继续完成小强的解答过程,并比较谁求出的近似值精确度更高($\sqrt{103}≈10.14889$).
【理解应用】请你思考两位同学的做法后,选择合适的方法,求$\sqrt{97}$的近似值(结果精确到0.01).
答案
解析 【分析比较】设 $\sqrt{103}=11-x(0＜x＜1)$,
则 $103=(11-x)^2$,即 $103=121-22x+x^2$,
$\because 0＜x＜1,\therefore 0＜x^2＜1$,
$\because x^2$ 比较小可以忽略不计,$\therefore 103\approx121-22x$,
解得 $x\approx0.82$,即 $\sqrt{103}$ 的近似值为 $11-0.82=10.18$.
$\because \sqrt{103}\approx10.148\ 89,\therefore$ 小丽求出的近似值精确度更高.
【理解应用】
$\because 9＜\sqrt{97}＜10,\therefore$ 设 $\sqrt{97}=10-m(0＜m＜1)$,
$\therefore 97=(10-m)^2$,即 $97=100-20m+m^2$,
$\because 0＜m＜1,\therefore 0＜m^2＜1$,
$\because m^2$ 比较小可以忽略不计,
$\therefore 97\approx100-20m$,解得 $m\approx0.15$,
$\therefore \sqrt{97}$ 的近似值为 $10-0.15=9.85$.
则 $103=(11-x)^2$,即 $103=121-22x+x^2$,
$\because 0＜x＜1,\therefore 0＜x^2＜1$,
$\because x^2$ 比较小可以忽略不计,$\therefore 103\approx121-22x$,
解得 $x\approx0.82$,即 $\sqrt{103}$ 的近似值为 $11-0.82=10.18$.
$\because \sqrt{103}\approx10.148\ 89,\therefore$ 小丽求出的近似值精确度更高.
【理解应用】
$\because 9＜\sqrt{97}＜10,\therefore$ 设 $\sqrt{97}=10-m(0＜m＜1)$,
$\therefore 97=(10-m)^2$,即 $97=100-20m+m^2$,
$\because 0＜m＜1,\therefore 0＜m^2＜1$,
$\because m^2$ 比较小可以忽略不计,
$\therefore 97\approx100-20m$,解得 $m\approx0.15$,
$\therefore \sqrt{97}$ 的近似值为 $10-0.15=9.85$.
