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1. 在$□ ABCD$中，若$∠ A + 3∠ B = 320°$，则$∠ C$的度数为（）
A.$70°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
A.$70°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
答案
D
解析
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A + ∠B = 180°，∠A = ∠C。已知∠A + 3∠B = 320°，两式相减得2∠B = 320° - 180° = 140°，解得∠B = 70°，∴ ∠A = 180° - 70° = 110°，∴ ∠C = ∠A = 110°。
2. 如图，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （）
A.$AB// CD,AB=CD$
B.$AB// CD,AD// BC$
C.$OA=OC,OB=OD$
D.$AB// CD,AD=BC$
A.$AB// CD,AB=CD$
B.$AB// CD,AD// BC$
C.$OA=OC,OB=OD$
D.$AB// CD,AD=BC$
答案
D
解析
根据平行四边形的判定定理逐一分析：
1. 选项A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形；
2. 选项B：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形定义），可判定四边形ABCD是平行四边形；
3. 选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形；
4. 选项D：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定该四边形一定是平行四边形。
1. 选项A：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形；
2. 选项B：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形定义），可判定四边形ABCD是平行四边形；
3. 选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形；
4. 选项D：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定该四边形一定是平行四边形。
3. 如图，$△ ABC$中，$∠ BAD=∠ CAD$，$BE=CE$，$AD⊥ BD$，$DE=3$，$AB=8$，则$AC$的值为（）
A.14
B.11
C.7
D.15
A.14
B.11
C.7
D.15
答案
A
解析
延长BD交AC于点F，
1. 证明全等：在△ABD和△AFD中，$∠ BAD=∠ CAD$，$AD=AD$，$∠ ADB=∠ ADF=90°$，由ASA可得$△ ABD ≌ △ AFD$，因此$AB=AF=8$，$BD=DF$。
2. 利用中位线性质：已知$BE=CE$，即E是BC中点，又D是BF中点，因此DE是$△ BCF$的中位线，根据三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}CF$，代入$DE=3$，得$CF=2×3=6$。
3. 计算AC：$AC=AF+CF=8+6=14$。
1. 证明全等：在△ABD和△AFD中，$∠ BAD=∠ CAD$，$AD=AD$，$∠ ADB=∠ ADF=90°$，由ASA可得$△ ABD ≌ △ AFD$，因此$AB=AF=8$，$BD=DF$。
2. 利用中位线性质：已知$BE=CE$，即E是BC中点，又D是BF中点，因此DE是$△ BCF$的中位线，根据三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}CF$，代入$DE=3$，得$CF=2×3=6$。
3. 计算AC：$AC=AF+CF=8+6=14$。
4. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为线段BC的中点,连接OE,若∠BAC=90°,AE=3,AC=4,则OE的长为 ()
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$5$
D.$\frac{5}{2}$
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$5$
D.$\frac{5}{2}$
答案
A
解析
1. 在Rt△BAC中，∠BAC=90°，E为BC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得BC=2AE=6。
2. 由勾股定理计算AB：$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
3. 平行四边形ABCD中，对角线互相平分，故O是AC的中点，又E是BC中点，因此OE是△ABC的中位线。
4. 根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
2. 由勾股定理计算AB：$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
3. 平行四边形ABCD中，对角线互相平分，故O是AC的中点，又E是BC中点，因此OE是△ABC的中位线。
4. 根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
5.在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别是A(0,2),B(1,0),C(3,2),点D在第一象限内，若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是。
答案
解：
已知$A(0,2)$，$C(3,2)$，可得$AC=3$，且$AC// x$轴。
根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论：
1. 若$AC$为平行四边形的对角线：
$AC$的中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{2+2}{2})$，即$(\frac{3}{2},2)$，该中点同时是$BD$的中点。
设$D(x,y)$，代入$B(1,0)$得：
$\frac{1+x}{2}=\frac{3}{2},\quad \frac{0+y}{2}=2$
解得$x=2$，$y=4$，即$D(2,4)$，该点在第一象限，符合要求。
2. 若$AB$为平行四边形的对角线：
$AB$的中点坐标为$(\frac{1}{2},1)$，该中点同时是$CD$的中点，解得$D(-2,0)$，该点不在第一象限，舍去。
3. 若$BC$为平行四边形的对角线：
$BC$的中点坐标为$(2,1)$，该中点同时是$AD$的中点，解得$D(4,0)$，该点在$x$轴上，不属于第一象限，舍去。
综上，点$D$的坐标是$\boldsymbol{(2,4)}$。
已知$A(0,2)$，$C(3,2)$，可得$AC=3$，且$AC// x$轴。
根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论：
1. 若$AC$为平行四边形的对角线：
$AC$的中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{2+2}{2})$，即$(\frac{3}{2},2)$，该中点同时是$BD$的中点。
设$D(x,y)$，代入$B(1,0)$得：
$\frac{1+x}{2}=\frac{3}{2},\quad \frac{0+y}{2}=2$
解得$x=2$，$y=4$，即$D(2,4)$，该点在第一象限，符合要求。
2. 若$AB$为平行四边形的对角线：
$AB$的中点坐标为$(\frac{1}{2},1)$，该中点同时是$CD$的中点，解得$D(-2,0)$，该点不在第一象限，舍去。
3. 若$BC$为平行四边形的对角线：
$BC$的中点坐标为$(2,1)$，该中点同时是$AD$的中点，解得$D(4,0)$，该点在$x$轴上，不属于第一象限，舍去。
综上，点$D$的坐标是$\boldsymbol{(2,4)}$。
6. 如图，已知$AC=AE$，$BC=BE$，$BC// AD$，$CD⊥ CE$。
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若$AD=CD=5$，$AC=6$，求CE的长。
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若$AD=CD=5$，$AC=6$，求CE的长。
答案
(1) 证明：
∵ $AC=AE$，$BC=BE$，
∴ 点$A$、点$B$都在线段$CE$的垂直平分线上，
∴ 直线$AB$垂直平分$CE$，即 $AB⊥ CE$。
又∵ $CD⊥ CE$，
∴ $AB// CD$。
已知 $BC// AD$，
∴ 四边形$ABCD$两组对边分别平行，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
---
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，且$AD=CD=5$，
∴ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AB=BC=AD=5$。
设$AB$与$CE$交于点$F$，由(1)知$AB$垂直平分$CE$，
∴ $CE=2CF$，且$CF⊥ AB$。
过点$B$作$BG⊥ AC$于点$G$，
∵ $AB=BC=5$，$AC=6$，
∴ $AG=GC=\frac{1}{2}AC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ BGC$中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BC^2-GC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BG=\frac{1}{2}×6×4=12$，
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CF$，代入得：
$\frac{1}{2}×5× CF=12$，
解得 $CF=\frac{24}{5}$，
∴ $CE=2CF=\frac{48}{5}$。
答：$CE$的长为$\frac{48}{5}$。
∵ $AC=AE$，$BC=BE$，
∴ 点$A$、点$B$都在线段$CE$的垂直平分线上，
∴ 直线$AB$垂直平分$CE$，即 $AB⊥ CE$。
又∵ $CD⊥ CE$，
∴ $AB// CD$。
已知 $BC// AD$，
∴ 四边形$ABCD$两组对边分别平行，
∴ 四边形$ABCD$是平行四边形。
---
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，且$AD=CD=5$，
∴ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AB=BC=AD=5$。
设$AB$与$CE$交于点$F$，由(1)知$AB$垂直平分$CE$，
∴ $CE=2CF$，且$CF⊥ AB$。
过点$B$作$BG⊥ AC$于点$G$，
∵ $AB=BC=5$，$AC=6$，
∴ $AG=GC=\frac{1}{2}AC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ BGC$中，由勾股定理得：
$BG=\sqrt{BC^2-GC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BG=\frac{1}{2}×6×4=12$，
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CF$，代入得：
$\frac{1}{2}×5× CF=12$，
解得 $CF=\frac{24}{5}$，
∴ $CE=2CF=\frac{48}{5}$。
答：$CE$的长为$\frac{48}{5}$。
