5. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,$AB⊥x$轴于点 B,AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C,与函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象交于点 D,连接 AC,CB,BD,DA,则四边形 ACBD 的面积等于________.

2

6. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点D的坐标为$(3,4)$.
(1)菱形ABCD的边长为________;
(2)求k的值;
(3)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.

(1)5
(2)解:$∵$菱形 ABCD 的边长为 5,
$∴OD=AD=5,AD// OB$.
$∵D(3,4),∴$点 A 的坐标为$(3,9)$,
代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=27$.
(3)解:将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移,使得点 D 落在函数$y=\frac{27}{x}(x＞0)$的图象点$D'$处,则点$D'$的坐标为$(\frac{27}{4},4),\frac{27}{4}-3=\frac{15}{4}$,
即菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移的距离为$\frac{15}{4}$.

7. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(m,0),B(m-a,0)(a＞m＞0)$的位置和函数$y_1=\frac{m}{x}(x＞0)$，$y_2=\frac{m-a}{x}(x＜0)$的图象如图所示. 以$AB$为边在$x$轴上方作正方形$ABCD$，$AD$边与函数$y_1$的图象相交于点$E$，$CD$边与函数$y_1,y_2$的图象分别相交于点$G,H$，一次函数$y_3$的图象经过点$E,G$，与$y$轴相交于点$P$，连接$PH$.
(1)若$m=2,a=4$，
①求函数$y_3$的表达式及$△ PGH$的面积；
②直接写出使$y_1＞y_3＞0$成立的$x$的取值范围.
(2)当$a,m$在满足$a＞m＞0$的条件下任意变化时，$△ PGH$的面积是否变化？请说明理由.

解:(1)①$∵m=2,a=4$,
$∴$点$A(2,0),B(-2,0),y_1=\frac{2}{x},y_2=-\frac{2}{x}$,
$∴$点$E(2,1),G(\frac{1}{2},4),H(-\frac{1}{2},4),∴HG=1$.
$∵$一次函数$y_3$的图象经过点 E,G,
$∴$设$y_3=kx+b$,则$\begin{cases}2k+b=1,\\\frac{1}{2}k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=5,\end{cases}$
$∴$函数$y_3$的表达式为$y_3=-2x+5,∴P(0,5)$.
设 CD 与 y 轴的交点为 M,
$PM=OP-OM=1$,
$∴S_{△PGH}=\frac{1}{2}HG·PM=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$.
②当$y_3=0$时,则$-2x+5=0$,即$x=\frac{5}{2}$,
$∴$当$0＜x＜\frac{1}{2}$或$2＜x＜\frac{5}{2}$时,$y_1＞y_3＞0$.
(2)$△PGH$的面积不变化.理由如下:
$∵$点$A(m,0),B(m-a,0),y_1=\frac{m}{x},y_2=\frac{m-a}{x}$,
$∴$点$E(m,1),G(\frac{m}{a},a),H(\frac{m-a}{a},a)$.
设$y_3=k_1x+b_1$,则$\begin{cases}k_1m+b_1=1,\\k_1\frac{m}{a}+b_1=a,\end{cases}∴b_1=a+1$,
$∴P(0,a+1)$,
$∴PM=OP-OM=1$,
$∴S_{△PGH}=\frac{1}{2}HG·PM=\frac{1}{2}(\frac{m}{a}-\frac{m-a}{a})×1=\frac{1}{2}$.