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24 [2024苏州期末]许老师在调查学生每天完成作业的时间时，得到了一组样本数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$，其中$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，有下列结论：① $x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数；② $x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的中位数；③ $x_2,x_3,x_4,x_5$的方差不小于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的方差；④ $x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的极差。其中，正确的是（
A.①④
B.①③
C.②③
D.②④
D
）A.①④
B.①③
C.②③
D.②④
答案
D
【解析】
∵$x_1$和$x_6$的平均数不一定等于样本数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数不一定等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数。故①错误。
∵$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的中位数。故②正确。
∵去掉最大值与最小值后，$x_2,x_3,x_4,x_5$的波动性减小，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的方差小于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的方差。故③错误。
∵$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$中最大值与最小值之差不大于$x_6-x_1$，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的极差。故④正确。综上所述，正确的有②④。
【解析】
∵$x_1$和$x_6$的平均数不一定等于样本数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数不一定等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数。故①错误。
∵$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的中位数。故②正确。
∵去掉最大值与最小值后，$x_2,x_3,x_4,x_5$的波动性减小，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的方差小于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的方差。故③错误。
∵$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$中最大值与最小值之差不大于$x_6-x_1$，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的极差。故④正确。综上所述，正确的有②④。
解析
【分析】
本题可结合平均数、中位数、方差、极差的定义，逐一判断四个结论的正误：1. 分析平均数：6个数据的平均数是所有数据之和除以6，去掉最小值和最大值后的4个数据的平均数是中间4个数之和除以4，二者没有必然相等的关系，可通过举反例验证①错误；2. 分析中位数：偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，6个数据排序后中间两个为$x_3$、$x_4$，去掉首尾两个数据后，剩余4个数据排序后的中间两个仍是$x_3$、$x_4$，因此二者中位数相等，②正确；3. 分析方差：方差反映数据的波动程度，去掉两个极端值（最小、最大值）后，数据的波动幅度变小，因此方差更小，③错误；4. 分析极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差，原数据极差为$x_6-x_1$，中间4个数据的最大值$≤ x_6$，最小值$≥ x_1$，因此其极差不超过原数据的极差，④正确。最后汇总正确结论即可得到答案。
【解析】
∵$x_1$和$x_6$的平均数不一定等于样本数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数不一定等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数，故①错误。
∵$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的中位数（均为$\frac{x_3+x_4}{2}$），故②正确。
∵去掉最大值与最小值后，$x_2,x_3,x_4,x_5$的波动性减小，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的方差小于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的方差，故③错误。
∵$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$中最大值与最小值之差不大于$x_6-x_1$，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的极差，故④正确。
综上所述，正确的结论为②④。
【答案】
D
【知识点】
中位数的定义；方差的意义；极差的概念
【点评】
本题侧重考查对基础统计量含义的理解，解题时需紧扣各统计量的本质逐一分析，避免混淆不同统计量的性质，是统计部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
本题可结合平均数、中位数、方差、极差的定义，逐一判断四个结论的正误：1. 分析平均数：6个数据的平均数是所有数据之和除以6，去掉最小值和最大值后的4个数据的平均数是中间4个数之和除以4，二者没有必然相等的关系，可通过举反例验证①错误；2. 分析中位数：偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，6个数据排序后中间两个为$x_3$、$x_4$，去掉首尾两个数据后，剩余4个数据排序后的中间两个仍是$x_3$、$x_4$，因此二者中位数相等，②正确；3. 分析方差：方差反映数据的波动程度，去掉两个极端值（最小、最大值）后，数据的波动幅度变小，因此方差更小，③错误；4. 分析极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差，原数据极差为$x_6-x_1$，中间4个数据的最大值$≤ x_6$，最小值$≥ x_1$，因此其极差不超过原数据的极差，④正确。最后汇总正确结论即可得到答案。
【解析】
∵$x_1$和$x_6$的平均数不一定等于样本数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数不一定等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的平均数，故①错误。
∵$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数等于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的中位数（均为$\frac{x_3+x_4}{2}$），故②正确。
∵去掉最大值与最小值后，$x_2,x_3,x_4,x_5$的波动性减小，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的方差小于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的方差，故③错误。
∵$x_1$是最小值，$x_6$是最大值，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$中最大值与最小值之差不大于$x_6-x_1$，
∴$x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的极差，故④正确。
综上所述，正确的结论为②④。
【答案】
D
【知识点】
中位数的定义；方差的意义；极差的概念
【点评】
本题侧重考查对基础统计量含义的理解，解题时需紧扣各统计量的本质逐一分析，避免混淆不同统计量的性质，是统计部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
25 某次化学测验满分为60分，其中九年级(1)班成绩的平均数为43分，方差为9。若把每名同学的成绩按100分进行换算，则换算后该班化学测验的成绩的方差为
25
。答案
25
【解析】把每名同学的成绩按100分进行换算后，每名同学的成绩是原来成绩的$\frac{100}{60}$倍，即$\frac{5}{3}$倍，因此换算后该班化学测验的成绩的方差为$(\frac{5}{3})^2 × 9=25$。
【解析】把每名同学的成绩按100分进行换算后，每名同学的成绩是原来成绩的$\frac{100}{60}$倍，即$\frac{5}{3}$倍，因此换算后该班化学测验的成绩的方差为$(\frac{5}{3})^2 × 9=25$。
解析
【分析】
解题时首先明确成绩换算的缩放比例：60分制转为100分制，是将每位同学的原始成绩乘以相同的缩放系数。再回忆方差的核心性质：若一组数据中每个数据都扩大k倍，则新数据的方差是原方差的$k^2$倍，代入已知条件计算即可得到结果。
【解析】
解：将60分满分换算为100分满分时，每位同学的成绩变为原来的$\frac{100}{60}=\frac{5}{3}$倍。
根据方差的性质：当一组所有数据都乘以同一个非零常数$k$时，所得新数据的方差为原方差的$k^2$倍。
已知原成绩方差为9，因此换算后的方差为：
$(\frac{5}{3})^2 × 9 = \frac{25}{9} × 9 = 25$
【答案】
25
【知识点】
方差的性质；数据变换的统计特征
【点评】
本题考查方差的运算性质，解题核心是区分数据线性变换时平均数和方差的变化规律，避免将方差的变化与平均数的变化混淆，错用系数直接相乘而不平方。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确成绩换算的缩放比例：60分制转为100分制，是将每位同学的原始成绩乘以相同的缩放系数。再回忆方差的核心性质：若一组数据中每个数据都扩大k倍，则新数据的方差是原方差的$k^2$倍，代入已知条件计算即可得到结果。
【解析】
解：将60分满分换算为100分满分时，每位同学的成绩变为原来的$\frac{100}{60}=\frac{5}{3}$倍。
根据方差的性质：当一组所有数据都乘以同一个非零常数$k$时，所得新数据的方差为原方差的$k^2$倍。
已知原成绩方差为9，因此换算后的方差为：
$(\frac{5}{3})^2 × 9 = \frac{25}{9} × 9 = 25$
【答案】
25
【知识点】
方差的性质；数据变换的统计特征
【点评】
本题考查方差的运算性质，解题核心是区分数据线性变换时平均数和方差的变化规律，避免将方差的变化与平均数的变化混淆，错用系数直接相乘而不平方。
【难度系数】
0.6
26 将以下10个数据1,9,12,3,2,11,10,4,7,13按数值大小排序后，根据组内离差平方和最小的原则分为两组，最佳的分割点在第
4
个数据之后。答案
4
解析
【分析】
解题思路如下：①首先将10个数据按从小到大排序，按数值大小分组时组内数据是排序后的连续段；②明确分割点在第k个数据后即前k个为第一组，剩下的10-k个为第二组，k可取1~9；③分别计算每个k对应的两组离差平方和之和（离差平方和为组内各数据与本组平均数的差的平方和），总离差平方和最小的k就是最佳分割点。
【解析】
步骤1：先对10个数据从小到大排序，得到：1，2，3，4，7，9，10，11，12，13。
步骤2：计算不同分割点k（k为第k个数据之后分割）对应的总离差平方和：
离差平方和公式：对n个数据$x_1∼ x_n$，离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，其中$\bar{x}$为组平均数。
k=1时，总离差平方和约为132.89；
k=2时，总离差平方和约为94.38；
k=3时，总离差平方和约为59.71；
k=4时，第一组为$[1,2,3,4]$，平均为2.5，组内离差平方和=$(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2=5$；第二组为$[7,9,10,11,12,13]$，平均为$\frac{62}{6}$，组内离差平方和约为23.33，总离差和约为$5+23.33=28.33$；
k=5时，总离差平方和为31.2；
k≥6时，总离差平方和均大于31.2。
对比可知k=4时总离差平方和最小。
【答案】
4
【知识点】
数据排序；平均数计算；离差平方和
【点评】
本题侧重考查统计中离差平方和的应用，需要先正确排序，再逐一计算不同分割点的总离差平方和，计算过程需细心，避免算术错误。
【难度系数】
0.5
解题思路如下：①首先将10个数据按从小到大排序，按数值大小分组时组内数据是排序后的连续段；②明确分割点在第k个数据后即前k个为第一组，剩下的10-k个为第二组，k可取1~9；③分别计算每个k对应的两组离差平方和之和（离差平方和为组内各数据与本组平均数的差的平方和），总离差平方和最小的k就是最佳分割点。
【解析】
步骤1：先对10个数据从小到大排序，得到：1，2，3，4，7，9，10，11，12，13。
步骤2：计算不同分割点k（k为第k个数据之后分割）对应的总离差平方和：
离差平方和公式：对n个数据$x_1∼ x_n$，离差平方和$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，其中$\bar{x}$为组平均数。
k=1时，总离差平方和约为132.89；
k=2时，总离差平方和约为94.38；
k=3时，总离差平方和约为59.71；
k=4时，第一组为$[1,2,3,4]$，平均为2.5，组内离差平方和=$(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2=5$；第二组为$[7,9,10,11,12,13]$，平均为$\frac{62}{6}$，组内离差平方和约为23.33，总离差和约为$5+23.33=28.33$；
k=5时，总离差平方和为31.2；
k≥6时，总离差平方和均大于31.2。
对比可知k=4时总离差平方和最小。
【答案】
4
【知识点】
数据排序；平均数计算；离差平方和
【点评】
本题侧重考查统计中离差平方和的应用，需要先正确排序，再逐一计算不同分割点的总离差平方和，计算过程需细心，避免算术错误。
【难度系数】
0.5
27 [2025福建]甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)
其中,甲、乙成绩数据的平均数分别是$\bar{x}_甲=85$,$\bar{x}_乙=85$;方差分别是$s^2_甲=58.4$,$s^2_乙=a$.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)
试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题:
(1) 计算$a$的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价.
(2) 计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数.
(3) 若要从中选择一人参加高中数学联赛,你认为选谁更合适?为什么?
信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)
其中,甲、乙成绩数据的平均数分别是$\bar{x}_甲=85$,$\bar{x}_乙=85$;方差分别是$s^2_甲=58.4$,$s^2_乙=a$.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)
试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题:
(1) 计算$a$的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价.
(2) 计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数.
(3) 若要从中选择一人参加高中数学联赛,你认为选谁更合适?为什么?
答案
(1) 由题意,得$a=\frac{1}{10} × [2 × (82-85)^2 + 2 × (83-85)^2 + (84-85)^2 + (85-85)^2 + 2 × (86-85)^2 + (87-85)^2 + (92-85)^2 ]=8.2$.
∵$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=85$，58.4＞8.2，即两人的平均成绩相同，乙的方差比甲小，
∴乙的成绩更稳定
(2) 当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6$(分)
(3) 选甲更合适
∵在两人的10次测试中，甲有4次超过89.6分，乙只有1次超过89.6分，
∴甲获奖的可能性更大，所以选甲更合适
∵$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=85$，58.4＞8.2，即两人的平均成绩相同，乙的方差比甲小，
∴乙的成绩更稳定
(2) 当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6$(分)
(3) 选甲更合适
∵在两人的10次测试中，甲有4次超过89.6分，乙只有1次超过89.6分，
∴甲获奖的可能性更大，所以选甲更合适
解析
【分析】
(1) 求a的值需用到方差的计算公式：方差是一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数，先明确乙的10次成绩分布，代入公式即可计算a；评价成绩时，平均数反映平均水平，方差反映成绩稳定性，平均数相同的前提下，方差越小成绩越稳定。
(2) 求近五年获奖分数线的平均数，直接用算术平均数公式，将五年分数线求和后除以5即可。
(3) 选择参赛人员不能仅看成绩稳定性，需结合获奖分数线，统计两人成绩超过获奖分数线平均数的次数，次数多的获奖概率更高，以此为依据判断即可。
【解析】
(1) 已知乙的10次成绩为2个82、2个83、1个84、1个85、2个86、1个87、1个92，平均数$\bar{x}_乙=85$，根据方差公式：
$\begin{aligned}a&=\frac{1}{10} × [2 × (82-85)^2 + 2 × (83-85)^2 + (84-85)^2 + (85-85)^2 + 2 × (86-85)^2 + (87-85)^2 + (92-85)^2 ]\\&=\frac{1}{10}×(2×9+2×4+1+0+2×1+4+49)\\&=\frac{1}{10}×82=8.2\end{aligned}$
因为$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=85$，$s^2_甲=58.4＞s^2_乙=8.2$，所以两人平均成绩相同，乙的成绩更稳定。
(2) 近五年获奖分数线为90分、89分、90分、89分、90分，其平均数为：
$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6 \mathrm{（分）}$
(3) 选甲更合适。对比两人10次测试成绩，甲有4次超过获奖分数线平均数89.6分，乙仅有1次超过89.6分，说明甲获奖的可能性更大，因此选甲更合适。
【答案】
(1) $a=8.2$，甲乙平均成绩相同，乙的成绩更稳定
(2) 89.6分
(3) 选甲更合适，甲成绩超过获奖分数线的次数更多，获奖可能性更大
【知识点】
方差的计算与意义，平均数的计算，统计量的实际应用
【点评】
本题结合参赛选拔的实际场景考查统计知识的应用，既要求熟练掌握平均数、方差的基础计算，也需要结合实际需求选择合适的统计量分析问题，避免仅依靠单一指标做出判断。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值需用到方差的计算公式：方差是一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数，先明确乙的10次成绩分布，代入公式即可计算a；评价成绩时，平均数反映平均水平，方差反映成绩稳定性，平均数相同的前提下，方差越小成绩越稳定。
(2) 求近五年获奖分数线的平均数，直接用算术平均数公式，将五年分数线求和后除以5即可。
(3) 选择参赛人员不能仅看成绩稳定性，需结合获奖分数线，统计两人成绩超过获奖分数线平均数的次数，次数多的获奖概率更高，以此为依据判断即可。
【解析】
(1) 已知乙的10次成绩为2个82、2个83、1个84、1个85、2个86、1个87、1个92，平均数$\bar{x}_乙=85$，根据方差公式：
$\begin{aligned}a&=\frac{1}{10} × [2 × (82-85)^2 + 2 × (83-85)^2 + (84-85)^2 + (85-85)^2 + 2 × (86-85)^2 + (87-85)^2 + (92-85)^2 ]\\&=\frac{1}{10}×(2×9+2×4+1+0+2×1+4+49)\\&=\frac{1}{10}×82=8.2\end{aligned}$
因为$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=85$，$s^2_甲=58.4＞s^2_乙=8.2$，所以两人平均成绩相同，乙的成绩更稳定。
(2) 近五年获奖分数线为90分、89分、90分、89分、90分，其平均数为：
$\frac{90+89+90+89+90}{5}=89.6 \mathrm{（分）}$
(3) 选甲更合适。对比两人10次测试成绩，甲有4次超过获奖分数线平均数89.6分，乙仅有1次超过89.6分，说明甲获奖的可能性更大，因此选甲更合适。
【答案】
(1) $a=8.2$，甲乙平均成绩相同，乙的成绩更稳定
(2) 89.6分
(3) 选甲更合适，甲成绩超过获奖分数线的次数更多，获奖可能性更大
【知识点】
方差的计算与意义，平均数的计算，统计量的实际应用
【点评】
本题结合参赛选拔的实际场景考查统计知识的应用，既要求熟练掌握平均数、方差的基础计算，也需要结合实际需求选择合适的统计量分析问题，避免仅依靠单一指标做出判断。
【难度系数】
0.7
