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1.【提出问题】月历上的数字每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在一定的规律呢？
【初步探究】如图①是2025年8月的月历，小芝在月历中用如图②所示的“Z型框”框住四个数$a,b,c,d$.
(1)用含$a$的代数式表示$b=$
【拓展探究】(2)探究$ad - bc$的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由.
【迁移运用】(3)受月历中日期排列启发，小明研究形如$(x+a)(x+b)$的多项式，其中$a,b$是正整数且$ab=32$，$a+b=m$.若$a,b$可表示某月中两个日期的编号$(1～31)$，求出所有可能的$m$值.
【初步探究】如图①是2025年8月的月历，小芝在月历中用如图②所示的“Z型框”框住四个数$a,b,c,d$.
(1)用含$a$的代数式表示$b=$
$a+1$
,$d=$$a+9$
.【拓展探究】(2)探究$ad - bc$的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由.
【迁移运用】(3)受月历中日期排列启发，小明研究形如$(x+a)(x+b)$的多项式，其中$a,b$是正整数且$ab=32$，$a+b=m$.若$a,b$可表示某月中两个日期的编号$(1～31)$，求出所有可能的$m$值.
答案
(1)$a+1$，$a+9$
(2)$ad-bc=-8$,理由如下：
$\because b=a+1,c=a+8,d=a+9$,
$\therefore ad-bc=a(a+9)-(a+1)(a+8)=a^2+9a-a^2-9a-8=-8.$
(3)$\because ab=32$,$a,b$为正整数且$a,b$可表示某月中两个日期的编号$(1∼31)$,
$\therefore a=2,b=16$ 或 $a=4,b=8$ 或 $a=8,b=4$ 或 $a=16,b=2.$
又$\because a+b=m$,$\therefore m=18$ 或 $12$,即所有可能的 $m$ 值为 18 或 12.
(2)$ad-bc=-8$,理由如下：
$\because b=a+1,c=a+8,d=a+9$,
$\therefore ad-bc=a(a+9)-(a+1)(a+8)=a^2+9a-a^2-9a-8=-8.$
(3)$\because ab=32$,$a,b$为正整数且$a,b$可表示某月中两个日期的编号$(1∼31)$,
$\therefore a=2,b=16$ 或 $a=4,b=8$ 或 $a=8,b=4$ 或 $a=16,b=2.$
又$\because a+b=m$,$\therefore m=18$ 或 $12$,即所有可能的 $m$ 值为 18 或 12.
解析
【分析】
1. 第(1)问：先明确月历的基本数字规律：同一行相邻数右边比左边大1，同一列相邻数下面比上面大7，结合“Z型框”的位置关系即可推导b、d与a的关系。
2. 第(2)问：先将c也用含a的代数式表示，再把四个数代入$ad-bc$进行整式化简，即可得到固定结果，总结规律。
3. 第(3)问：先找出乘积为32的所有正整数因数对，再根据日期取值范围为1~31排除不符合的组合，最后计算符合条件的因数对的和即可得到所有m的值。
【解析】
(1) 同一行相邻数差1，因此$b=a+1$；
c在b的正下方，同一列相邻数差7，因此$c=b+7=a+1+7=a+8$；
d和c同一行，在c右侧，因此$d=c+1=a+8+1=a+9$。
(2) 结论：$ad-bc$的值恒为$-8$。
理由：由(1)得$b=a+1$，$c=a+8$，$d=a+9$，代入式子得：
$\begin{aligned}ad-bc&=a(a+9)-(a+1)(a+8)\\&=a^2+9a-(a^2+9a+8)\\&=-8\end{aligned}$
因此$ad-bc$的值恒为$-8$。
(3) 已知$ab=32$，a、b为正整数，且取值在1~31之间。
32的正整数因数对有：$(1,32)、(2,16)、(4,8)、(8,4)、(16,2)、(32,1)$，其中包含32的因数对不符合日期范围，排除后剩余$(2,16)、(4,8)、(8,4)、(16,2)$。
计算和得：$2+16=18$，$4+8=12$，因此m的可能值为12或18。
【答案】
(1) $a+1$，$a+9$
(2) $ad-bc$的值恒为$-8$，理由见解析
(3) 所有可能的$m$值为$\boxed{12}$或$\boxed{18}$
【知识点】
月历数字规律，整式化简运算，因数的应用
【点评】
本题结合生活中的月历场景设计问题，由浅入深考查规律探究能力、整式运算能力和知识迁移应用能力，既贴近生活，又能有效检验基础运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先明确月历的基本数字规律：同一行相邻数右边比左边大1，同一列相邻数下面比上面大7，结合“Z型框”的位置关系即可推导b、d与a的关系。
2. 第(2)问：先将c也用含a的代数式表示，再把四个数代入$ad-bc$进行整式化简，即可得到固定结果，总结规律。
3. 第(3)问：先找出乘积为32的所有正整数因数对，再根据日期取值范围为1~31排除不符合的组合，最后计算符合条件的因数对的和即可得到所有m的值。
【解析】
(1) 同一行相邻数差1，因此$b=a+1$；
c在b的正下方，同一列相邻数差7，因此$c=b+7=a+1+7=a+8$；
d和c同一行，在c右侧，因此$d=c+1=a+8+1=a+9$。
(2) 结论：$ad-bc$的值恒为$-8$。
理由：由(1)得$b=a+1$，$c=a+8$，$d=a+9$，代入式子得：
$\begin{aligned}ad-bc&=a(a+9)-(a+1)(a+8)\\&=a^2+9a-(a^2+9a+8)\\&=-8\end{aligned}$
因此$ad-bc$的值恒为$-8$。
(3) 已知$ab=32$，a、b为正整数，且取值在1~31之间。
32的正整数因数对有：$(1,32)、(2,16)、(4,8)、(8,4)、(16,2)、(32,1)$，其中包含32的因数对不符合日期范围，排除后剩余$(2,16)、(4,8)、(8,4)、(16,2)$。
计算和得：$2+16=18$，$4+8=12$，因此m的可能值为12或18。
【答案】
(1) $a+1$，$a+9$
(2) $ad-bc$的值恒为$-8$，理由见解析
(3) 所有可能的$m$值为$\boxed{12}$或$\boxed{18}$
【知识点】
月历数字规律，整式化简运算，因数的应用
【点评】
本题结合生活中的月历场景设计问题，由浅入深考查规律探究能力、整式运算能力和知识迁移应用能力，既贴近生活，又能有效检验基础运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
2.如图①是2026年9月份的月历，亮亮在其中任意画出2×2的方框，方框内的数字分别用a,b,c,d表示（如图②），他准备计算“bc−ad”的值，并探索其运算结果的规律.
【特例探究】(1)计算图①中2×2方框内的结果：11×5−4×12=
【推理演绎】(2)亮亮通过特例分析，猜想所有月历中2×2方框内“bc−ad”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整.
证明:设a=x,则b=x+7,c=x+1,d=x+8.
【特例探究】(1)计算图①中2×2方框内的结果：11×5−4×12=
$7$
，14×8−7×15=$7$
.【推理演绎】(2)亮亮通过特例分析，猜想所有月历中2×2方框内“bc−ad”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整.
证明:设a=x,则b=x+7,c=x+1,d=x+8.
答案
(1)7，7
(2)$\therefore bc-ad=(x+7)(x+1)-x(x+8)=x^2+8x+7-x^2-8x=7.$
$\therefore$方框内“$bc-ad$”的结果都不变.
(2)$\therefore bc-ad=(x+7)(x+1)-x(x+8)=x^2+8x+7-x^2-8x=7.$
$\therefore$方框内“$bc-ad$”的结果都不变.
解析
【分析】
(1) 属于特例计算类问题，直接按照有理数混合运算的顺序，先计算乘法，再计算减法即可得出结果；(2) 属于规律证明类问题，首先明确月历数字的排列规律：同一行相邻数字差1，同一列相邻数字差7，按照给出的设元方式，将b、c、d用含x的代数式代入$bc-ad$，通过整式的乘法、加减运算化简，若结果为常数即可证明猜想成立。
【解析】
(1) 计算第一个式子：
$11×5 - 4×12 = 55 - 48 = 7$
计算第二个式子：
$14×8 - 7×15 = 112 - 105 = 7$
(2) 证明：设$a=x$，根据月历数字排列规律可得$b=x+7$，$c=x+1$，$d=x+8$，代入式子得：
$\begin{aligned}bc-ad&=(x+7)(x+1)-x(x+8)\\&=x^2+8x+7-x^2-8x\\&=7\end{aligned}$
因此所有月历中2×2方框内$bc-ad$的结果都为7，保持不变。
【答案】
(1) $\boxed{7}$，$\boxed{7}$
(2) 证明成立，$bc-ad$的结果恒为$\boxed{7}$
【知识点】
数字规律探究，整式混合运算，列代数式
【点评】
本题结合生活中的月历场景设计问题，既考查了基础的有理数运算能力，又考查了用代数式探究通用规律的思维，解题核心是抓住月历中数字的排列特征，通过设元将待求式子转化为整式运算，最终化简得到定值，是规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 属于特例计算类问题，直接按照有理数混合运算的顺序，先计算乘法，再计算减法即可得出结果；(2) 属于规律证明类问题，首先明确月历数字的排列规律：同一行相邻数字差1，同一列相邻数字差7，按照给出的设元方式，将b、c、d用含x的代数式代入$bc-ad$，通过整式的乘法、加减运算化简，若结果为常数即可证明猜想成立。
【解析】
(1) 计算第一个式子：
$11×5 - 4×12 = 55 - 48 = 7$
计算第二个式子：
$14×8 - 7×15 = 112 - 105 = 7$
(2) 证明：设$a=x$，根据月历数字排列规律可得$b=x+7$，$c=x+1$，$d=x+8$，代入式子得：
$\begin{aligned}bc-ad&=(x+7)(x+1)-x(x+8)\\&=x^2+8x+7-x^2-8x\\&=7\end{aligned}$
因此所有月历中2×2方框内$bc-ad$的结果都为7，保持不变。
【答案】
(1) $\boxed{7}$，$\boxed{7}$
(2) 证明成立，$bc-ad$的结果恒为$\boxed{7}$
【知识点】
数字规律探究，整式混合运算，列代数式
【点评】
本题结合生活中的月历场景设计问题，既考查了基础的有理数运算能力，又考查了用代数式探究通用规律的思维，解题核心是抓住月历中数字的排列特征，通过设元将待求式子转化为整式运算，最终化简得到定值，是规律探究类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
