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7.如图,下列4个三角形中,均有$AB=AC$,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （）
A.①③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
A.①③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
答案
C
解析
逐个分析4个等腰三角形：
1. 对于①：$AB=AC$，$∠ A=36°$，可得$∠ B=∠ C=72°$，作$∠ B$的角平分线交$AC$于点$D$，可得到$△ ABD$（$∠ A=∠ ABD=36°$）和$△ BCD$（$∠ BDC=∠ C=72°$），均为等腰三角形，符合要求。
2. 对于②：$AB=AC$，$∠ A=45°$，可得$∠ B=∠ C=67.5°$，不存在过任意顶点的直线将其分为两个小等腰三角形，不符合要求。
3. 对于③：$AB=AC$，$∠ A=90°$，是等腰直角三角形，过点$A$作$BC$的垂线，可将其分为两个全等的小等腰直角三角形，符合要求。
4. 对于④：$AB=AC$，$∠ A=108°$，可得$∠ B=∠ C=36°$，过点$A$作直线将$∠ A$分为$36°$和$72°$，得到的两个三角形内角分别为$36°、36°、108°$和$36°、72°、72°$，均为等腰三角形，符合要求。
综上符合条件的是①③④。
1. 对于①：$AB=AC$，$∠ A=36°$，可得$∠ B=∠ C=72°$，作$∠ B$的角平分线交$AC$于点$D$，可得到$△ ABD$（$∠ A=∠ ABD=36°$）和$△ BCD$（$∠ BDC=∠ C=72°$），均为等腰三角形，符合要求。
2. 对于②：$AB=AC$，$∠ A=45°$，可得$∠ B=∠ C=67.5°$，不存在过任意顶点的直线将其分为两个小等腰三角形，不符合要求。
3. 对于③：$AB=AC$，$∠ A=90°$，是等腰直角三角形，过点$A$作$BC$的垂线，可将其分为两个全等的小等腰直角三角形，符合要求。
4. 对于④：$AB=AC$，$∠ A=108°$，可得$∠ B=∠ C=36°$，过点$A$作直线将$∠ A$分为$36°$和$72°$，得到的两个三角形内角分别为$36°、36°、108°$和$36°、72°、72°$，均为等腰三角形，符合要求。
综上符合条件的是①③④。
8.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°,∠ C=90°$.在射线$BA$上找一点$D$,使$△ ACD$为等腰三角形,则$∠ ACD$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
解：
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，
∴ ∠BAC=180°-90°-50°=40°。
分情况讨论等腰△ACD：
1. 当AD=CD时，∠ACD=∠CAD=40°；
2. 当AC=AD时：
① 若点D在线段AB上，∠CAD=40°，
∴ ∠ACD=∠ADC=(180°-40°)÷2=70°；
② 若点D在射线BA上点A的外侧，∠CAD=180°-40°=140°，
∴ ∠ACD=∠ADC=(180°-140°)÷2=20°；
3. 当AC=CD时，点D在线段AB上，∠CAD=∠CDA=40°，
∴ ∠ACD=180°-40°-40°=100°。
综上，∠ACD的度数为$\boldsymbol{20°}$或$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{70°}$或$\boldsymbol{100°}$。
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，
∴ ∠BAC=180°-90°-50°=40°。
分情况讨论等腰△ACD：
1. 当AD=CD时，∠ACD=∠CAD=40°；
2. 当AC=AD时：
① 若点D在线段AB上，∠CAD=40°，
∴ ∠ACD=∠ADC=(180°-40°)÷2=70°；
② 若点D在射线BA上点A的外侧，∠CAD=180°-40°=140°，
∴ ∠ACD=∠ADC=(180°-140°)÷2=20°；
3. 当AC=CD时，点D在线段AB上，∠CAD=∠CDA=40°，
∴ ∠ACD=180°-40°-40°=100°。
综上，∠ACD的度数为$\boldsymbol{20°}$或$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{70°}$或$\boldsymbol{100°}$。
9.已知:如图,锐角△ABC的两条高线BD,CE相交于点O,且OB=OC.
求证:△ABC是等腰三角形.
求证:△ABC是等腰三角形.
答案
证明：
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ BD，CE是△ABC的两条高线，
∴ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴ ∠BDC=∠CEB=90°，
∴ ∠ABC + ∠OCB = 90°，∠ACB + ∠OBC = 90°。
又∵ ∠OBC=∠OCB，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC（等角对等边），
即△ABC是等腰三角形。
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ BD，CE是△ABC的两条高线，
∴ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴ ∠BDC=∠CEB=90°，
∴ ∠ABC + ∠OCB = 90°，∠ACB + ∠OBC = 90°。
又∵ ∠OBC=∠OCB，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC（等角对等边），
即△ABC是等腰三角形。
10.如图,在等边△ABC中,点M为边AB上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM.连结MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP.
(2)若AB=a,求线段PH的长.(结果用含a的代数式表示)
(1)求证:MP=NP.
(2)若AB=a,求线段PH的长.(结果用含a的代数式表示)
答案
(1) 证明：
过点$M$作$MQ// BC$，交$AC$于点$Q$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$。
$\because MQ// BC$，
$\therefore ∠ AMQ=∠ B=60°$，$∠ AQM=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AMQ$是等边三角形，
$\therefore AM=MQ$。
又$\because AM=CN$，
$\therefore MQ=CN$。
$\because MQ// BC$，
$\therefore ∠ QMP=∠ N$，$∠ MQP=∠ NCP$。
在$△ MQP$和$△ NCP$中：
$\begin{cases}∠ QMP=∠ N \\MQ=CN \\∠ MQP=∠ NCP\end{cases}$
$\therefore △ MQP ≌ △ NCP \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore MP=NP$。
---
(2) 解：
$\because △ AMQ$是等边三角形，$MH⊥ AC$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一得：$AH=HQ$，即$HQ=\frac{1}{2}AQ$。
$\because △ MQP ≌ △ NCP$，
$\therefore QP=CP$，即$QP=\frac{1}{2}QC$。
$\therefore PH=HQ+QP=\frac{1}{2}AQ+\frac{1}{2}QC=\frac{1}{2}(AQ+QC)=\frac{1}{2}AC$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$AB=a$，
$\therefore AC=AB=a$，
$\therefore PH=\frac{1}{2}a$。
最终结论：$PH$的长为$\boldsymbol{\frac{1}{2}a}$。
过点$M$作$MQ// BC$，交$AC$于点$Q$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$。
$\because MQ// BC$，
$\therefore ∠ AMQ=∠ B=60°$，$∠ AQM=∠ ACB=60°$，
$\therefore △ AMQ$是等边三角形，
$\therefore AM=MQ$。
又$\because AM=CN$，
$\therefore MQ=CN$。
$\because MQ// BC$，
$\therefore ∠ QMP=∠ N$，$∠ MQP=∠ NCP$。
在$△ MQP$和$△ NCP$中：
$\begin{cases}∠ QMP=∠ N \\MQ=CN \\∠ MQP=∠ NCP\end{cases}$
$\therefore △ MQP ≌ △ NCP \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore MP=NP$。
---
(2) 解：
$\because △ AMQ$是等边三角形，$MH⊥ AC$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一得：$AH=HQ$，即$HQ=\frac{1}{2}AQ$。
$\because △ MQP ≌ △ NCP$，
$\therefore QP=CP$，即$QP=\frac{1}{2}QC$。
$\therefore PH=HQ+QP=\frac{1}{2}AQ+\frac{1}{2}QC=\frac{1}{2}(AQ+QC)=\frac{1}{2}AC$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$AB=a$，
$\therefore AC=AB=a$，
$\therefore PH=\frac{1}{2}a$。
最终结论：$PH$的长为$\boldsymbol{\frac{1}{2}a}$。
