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1. 如图，BD是$\odot O$的直径，A，C是$\odot O$上两点，连接AC，AD，CD。若$∠ C=24°$，则$∠ ADB=$()
A.$48°$
B.$66°$
C.$72°$
D.$76°$
A.$48°$
B.$66°$
C.$72°$
D.$76°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先观察已知条件，BD是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得△ABD是直角三角形，∠BAD=90°；其次∠C和∠ABD是同弧AD所对的圆周角，根据圆周角性质二者相等，可得到∠ABD的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余即可计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵BD是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ ABD$和$∠ C$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴$∠ ABD=∠ C=24°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB+∠ ABD=90°$，
∴$∠ ADB=90°-24°=66°$。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角性质；同弧所对圆周角性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是结合圆周角的相关性质推导角的等量关系，再结合直角三角形的角度关系计算，解题时要准确识别同弧对应的圆周角，避免找错角的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件，BD是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得△ABD是直角三角形，∠BAD=90°；其次∠C和∠ABD是同弧AD所对的圆周角，根据圆周角性质二者相等，可得到∠ABD的度数；最后在直角三角形中利用两锐角互余即可计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵BD是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ ABD$和$∠ C$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴$∠ ABD=∠ C=24°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB+∠ ABD=90°$，
∴$∠ ADB=90°-24°=66°$。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角性质；同弧所对圆周角性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是结合圆周角的相关性质推导角的等量关系，再结合直角三角形的角度关系计算，解题时要准确识别同弧对应的圆周角，避免找错角的对应关系。
【难度系数】
0.8
2.在数学活动课上，小丁用自己做的直角尺测量、计算圆的半径。如图是一把直角尺，$∠ AOB=90°$，将点$O$放在圆周上，$OA$，$OB$分别与圆相交于点$C$，$D$，读得数据$OC=6$，$OD=8$，则此圆的半径约为()
A.10
B.5
C.8
D.6
A.10
B.5
C.8
D.6
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：∠AOB=90°，且O、C、D三点均在圆周上，首先联想到圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此可判断弦CD是该圆的直径。接下来，△COD是直角三角形，已知两条直角边OC和OD的长度，用勾股定理即可求出直径CD的长度，除以2就得到圆的半径。
【解析】
解：
∵∠COD=∠AOB=90°，且点O、C、D都在圆上，
∴根据圆周角定理的推论，CD是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
在Rt△COD中，OC=6，OD=8，由勾股定理可得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
∴圆的半径为$10÷2=5$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题的关键是根据直角圆周角判断出对应弦为直径，将测量问题转化为直角三角形求边长的问题，解题思路清晰，侧重基础应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：∠AOB=90°，且O、C、D三点均在圆周上，首先联想到圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此可判断弦CD是该圆的直径。接下来，△COD是直角三角形，已知两条直角边OC和OD的长度，用勾股定理即可求出直径CD的长度，除以2就得到圆的半径。
【解析】
解：
∵∠COD=∠AOB=90°，且点O、C、D都在圆上，
∴根据圆周角定理的推论，CD是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
在Rt△COD中，OC=6，OD=8，由勾股定理可得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
∴圆的半径为$10÷2=5$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题的关键是根据直角圆周角判断出对应弦为直径，将测量问题转化为直角三角形求边长的问题，解题思路清晰，侧重基础应用。
【难度系数】
0.7
3.如图,以点$C(2,1)$为圆心的$\odot C$经过原点$O$,与$y$轴相交于点$A$,$B$是$y$轴右侧$\odot C$优弧上的一点,则$\sin∠ OBA$的值是。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
解析
【分析】要计算sin∠OBA的值，直接在∠OBA所在三角形中求解条件不足，可利用圆周角定理进行角的转化：同弧所对的圆周角相等，将∠OBA转化为同弧OA所对的另一圆周角；再结合直径所对圆周角为直角的性质，构造包含该等角的直角三角形，通过坐标计算相关线段长度，最后根据正弦的定义求解即可。
【解析】
解：1. 求圆的半径和弦OA的长度：
连接OC，过点C作CD⊥y轴于点D。
∵圆心C的坐标为(2,1)，
∴$OC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，即$\odot C$的半径为$\sqrt{5}$；CD=2（点C到y轴的距离）。
由垂径定理可知，CD垂直平分OA，
在Rt△ACD中，$AC=OC=\sqrt{5}$，$CD=2$，
∴$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$，
∴$OA=AD+OD=1+1=2$（OD为点C的纵坐标，长度为1）。
2. 转化角并计算正弦值：
延长OC交$\odot C$于点E，连接AE。
∵OE是$\odot C$的直径，
∴$∠ OAE=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$∠ OBA$和$∠ OEA$均为弧OA所对的圆周角，
∴$∠ OBA=∠ OEA$（同弧所对的圆周角相等）。
直径$OE=2OC=2\sqrt{5}$，
在Rt△OAE中，$\sin∠ OEA=\frac{OA}{OE}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sin∠ OBA=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义
【点评】本题将圆的性质与锐角三角函数结合考查，解题的核心是利用圆周角定理完成未知角到直角三角形内角的转化，同时结合垂径定理、坐标求线段长，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】0.6
【解析】
解：1. 求圆的半径和弦OA的长度：
连接OC，过点C作CD⊥y轴于点D。
∵圆心C的坐标为(2,1)，
∴$OC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，即$\odot C$的半径为$\sqrt{5}$；CD=2（点C到y轴的距离）。
由垂径定理可知，CD垂直平分OA，
在Rt△ACD中，$AC=OC=\sqrt{5}$，$CD=2$，
∴$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$，
∴$OA=AD+OD=1+1=2$（OD为点C的纵坐标，长度为1）。
2. 转化角并计算正弦值：
延长OC交$\odot C$于点E，连接AE。
∵OE是$\odot C$的直径，
∴$∠ OAE=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$∠ OBA$和$∠ OEA$均为弧OA所对的圆周角，
∴$∠ OBA=∠ OEA$（同弧所对的圆周角相等）。
直径$OE=2OC=2\sqrt{5}$，
在Rt△OAE中，$\sin∠ OEA=\frac{OA}{OE}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sin∠ OBA=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义
【点评】本题将圆的性质与锐角三角函数结合考查，解题的核心是利用圆周角定理完成未知角到直角三角形内角的转化，同时结合垂径定理、坐标求线段长，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】0.6
4.如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，BE是$\odot O$的直径，连接CE。若$∠ DCE = 16°$，则$∠ BAD$的度数为。
答案
$\boldsymbol{106}$
解析
【分析】
解题时先回忆圆的相关性质：首先，直径所对的圆周角是直角；其次，圆内接四边形的对角互补。第一步，根据BE是⊙O的直径，先求出∠BCE的度数；第二步，结合已知∠DCE的度数，计算出∠BCD的度数；第三步，利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠DCE=16°，
∴∠BCD = ∠BCE - ∠DCE = 90° - 16° = 74°，
又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BAD = 180° - 74° = 106°。
【答案】
$\boldsymbol{106}$
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 圆内接四边形对角互补
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，解题的关键是找准角度之间的和差关系，熟练掌握圆的两个核心性质即可快速求解，考查学生对基础性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆圆的相关性质：首先，直径所对的圆周角是直角；其次，圆内接四边形的对角互补。第一步，根据BE是⊙O的直径，先求出∠BCE的度数；第二步，结合已知∠DCE的度数，计算出∠BCD的度数；第三步，利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠DCE=16°，
∴∠BCD = ∠BCE - ∠DCE = 90° - 16° = 74°，
又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BAD = 180° - 74° = 106°。
【答案】
$\boldsymbol{106}$
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 圆内接四边形对角互补
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，解题的关键是找准角度之间的和差关系，熟练掌握圆的两个核心性质即可快速求解，考查学生对基础性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
5.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接OB，OC。若$∠ BOC = 100°$，$∠ A = 110°$，则$∠ OCD$的度数为。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解题时可按三步推导：第一步，OB、OC都是圆O的半径，可知△OBC是等腰三角形，结合已知的顶角∠BOC，利用三角形内角和即可算出底角∠OCB的度数；第二步，四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠A的度数，可求出∠BCD的度数；第三步，观察角度关系，∠OCD=∠BCD-∠OCB，代入已算得的两个角度数值即可求出结果。
【解析】
1.
∵OB、OC均为$\odot O$的半径，
∴OB=OC，$△ OBC$为等腰三角形。
已知$∠ BOC=100°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OCB=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$。
2.
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ A+∠ BCD=180°$，已知$∠ A=110°$，可得：
$∠ BCD=180°-110°=70°$。
3. 由图可知$∠ BCD=∠ OCB+∠ OCD$，因此：
$∠ OCD=∠ BCD-∠ OCB=70°-40°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的核心是理清各角度之间的数量关系，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步推导：第一步，OB、OC都是圆O的半径，可知△OBC是等腰三角形，结合已知的顶角∠BOC，利用三角形内角和即可算出底角∠OCB的度数；第二步，四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠A的度数，可求出∠BCD的度数；第三步，观察角度关系，∠OCD=∠BCD-∠OCB，代入已算得的两个角度数值即可求出结果。
【解析】
1.
∵OB、OC均为$\odot O$的半径，
∴OB=OC，$△ OBC$为等腰三角形。
已知$∠ BOC=100°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OCB=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$。
2.
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ A+∠ BCD=180°$，已知$∠ A=110°$，可得：
$∠ BCD=180°-110°=70°$。
3. 由图可知$∠ BCD=∠ OCB+∠ OCD$，因此：
$∠ OCD=∠ BCD-∠ OCB=70°-40°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将圆的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题的核心是理清各角度之间的数量关系，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 如图，AB是$\odot O$的直径，E，D是$\odot O$上的两点，延长AD，交BE的延长线于点C，且$ED=EC$。
(1)求证：$AB=AC$。
(2)若$AB=4$，$BC=2\sqrt{3}$，求CD的长。
(1)求证：$AB=AC$。
(2)若$AB=4$，$BC=2\sqrt{3}$，求CD的长。
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABED是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ADE + ∠ B = 180°$，
又 $\because ∠ ADE + ∠ EDC = 180°$，
∴ $∠ EDC = ∠ B$。
∵ $ED = EC$，
∴ $∠ EDC = ∠ C$，
∴ $∠ B = ∠ C$，
∴ $AB = AC$。
---
(2) 解：
连接$AE$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB = 90°$，即$AE ⊥ BC$。
由(1)知$AB = AC = 4$，根据等腰三角形三线合一，得$E$为$BC$中点，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
∵ $∠ C = ∠ C$，$∠ EDC = ∠ B$，
∴ $△ CDE ∽ △ CBA$，
∴ $\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA}$，
代入$CB=2\sqrt{3}$，$CE=\sqrt{3}$，$CA=4$，得：
$\frac{CD}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
解得 $CD = \frac{3}{2}$。
答：$CD$的长为$\frac{3}{2}$。
∵ 四边形ABED是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ADE + ∠ B = 180°$，
又 $\because ∠ ADE + ∠ EDC = 180°$，
∴ $∠ EDC = ∠ B$。
∵ $ED = EC$，
∴ $∠ EDC = ∠ C$，
∴ $∠ B = ∠ C$，
∴ $AB = AC$。
---
(2) 解：
连接$AE$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB = 90°$，即$AE ⊥ BC$。
由(1)知$AB = AC = 4$，根据等腰三角形三线合一，得$E$为$BC$中点，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
∵ $∠ C = ∠ C$，$∠ EDC = ∠ B$，
∴ $△ CDE ∽ △ CBA$，
∴ $\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA}$，
代入$CB=2\sqrt{3}$，$CE=\sqrt{3}$，$CA=4$，得：
$\frac{CD}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
解得 $CD = \frac{3}{2}$。
答：$CD$的长为$\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$AB=AC$，只需证明底角$∠B=∠C$即可。已知$ED=EC$，根据等腰三角形等边对等角可得$∠EDC=∠C$，因此只需推导$∠EDC=∠B$：结合圆内接四边形的外角等于其内对角的性质，可得到该角相等关系，进而推出$∠B=∠C$，即可得证。
(2) 要求$CD$的长，首先连接辅助线$AE$，利用直径所对的圆周角是直角，得到$AE⊥BC$，结合(1)中$AB=AC$的结论，由等腰三角形三线合一可得$E$是$BC$中点，算出$CE$的长度；再通过两角对应相等证明$△CDE∽△CBA$，利用相似三角形对应边成比例代入数值计算，即可求出$CD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABED$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ADE + ∠B = 180°$，
又 $\because ∠ADE + ∠EDC = 180°$，
∴ $∠EDC = ∠B$。
∵ $ED = EC$，
∴ $∠EDC = ∠C$，
∴ $∠B = ∠C$，
∴ $AB = AC$。
(2) 解：
连接$AE$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠AEB = 90°$，即$AE ⊥ BC$。
由(1)知$AB = AC = 4$，根据等腰三角形三线合一，得$E$为$BC$中点，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
∵ $∠C = ∠C$，$∠EDC = ∠B$，
∴ $△CDE ∽ △CBA$，
∴ $\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA}$，
代入$CB=2\sqrt{3}$，$CE=\sqrt{3}$，$CA=4$，得：
$\frac{CD}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
解得 $CD = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 已证$AB=AC$；
(2) $\frac{3}{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理推论、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型综合题，核心考查基础几何性质的综合运用，解题关键是找到角的等量关系、合理构造辅助线，熟练掌握各基础知识点即可顺利求解，属于常考的中档几何题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AB=AC$，只需证明底角$∠B=∠C$即可。已知$ED=EC$，根据等腰三角形等边对等角可得$∠EDC=∠C$，因此只需推导$∠EDC=∠B$：结合圆内接四边形的外角等于其内对角的性质，可得到该角相等关系，进而推出$∠B=∠C$，即可得证。
(2) 要求$CD$的长，首先连接辅助线$AE$，利用直径所对的圆周角是直角，得到$AE⊥BC$，结合(1)中$AB=AC$的结论，由等腰三角形三线合一可得$E$是$BC$中点，算出$CE$的长度；再通过两角对应相等证明$△CDE∽△CBA$，利用相似三角形对应边成比例代入数值计算，即可求出$CD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABED$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ADE + ∠B = 180°$，
又 $\because ∠ADE + ∠EDC = 180°$，
∴ $∠EDC = ∠B$。
∵ $ED = EC$，
∴ $∠EDC = ∠C$，
∴ $∠B = ∠C$，
∴ $AB = AC$。
(2) 解：
连接$AE$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠AEB = 90°$，即$AE ⊥ BC$。
由(1)知$AB = AC = 4$，根据等腰三角形三线合一，得$E$为$BC$中点，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
∵ $∠C = ∠C$，$∠EDC = ∠B$，
∴ $△CDE ∽ △CBA$，
∴ $\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA}$，
代入$CB=2\sqrt{3}$，$CE=\sqrt{3}$，$CA=4$，得：
$\frac{CD}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
解得 $CD = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 已证$AB=AC$；
(2) $\frac{3}{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理推论、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型综合题，核心考查基础几何性质的综合运用，解题关键是找到角的等量关系、合理构造辅助线，熟练掌握各基础知识点即可顺利求解，属于常考的中档几何题。
【难度系数】
0.7
