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1. ★★★ 如图是一个直三棱柱，则它的表面展开图中，错误的是（ 
）
）答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆直三棱柱表面展开图的特征：直三棱柱有2个全等的底面（本题为三边长3、4、5的直角三角形）和3个矩形侧面，展开后两个底面应分别在侧面矩形的两侧，且三角形的每条边要和对应矩形的边长完全相等，折叠后才能吻合组成直三棱柱。我们逐一分析每个选项，判断折叠后是否能匹配原直三棱柱，排除正确选项即可得到错误选项。
【解析】
直三棱柱的表面展开图由2个全等的直角三角形（底面）、3个矩形（侧面）组成，两个底面需分别位于侧面矩形组的两侧，且三角形的三边与对应矩形的边长一一对应相等。
已知本题直三棱柱的底面是三边长为3、4、5的直角三角形：
选项A、B、C的展开图折叠后，两个直角三角形的边均能与对应矩形的边匹配，可还原为题干中的直三棱柱，均为正确的展开图；
选项D的展开图折叠时，两个直角三角形的边无法与所有矩形的边一一对应匹配，不能拼成原直三棱柱，是错误的展开图。
【答案】
D
【知识点】
直三棱柱展开图；几何体展开与折叠
【点评】
本题考查直三棱柱表面展开图的辨识，解题核心是抓住展开图中底面与侧面的边长对应关系，也可通过模拟折叠的方法快速判断，是立体几何展开类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆直三棱柱表面展开图的特征：直三棱柱有2个全等的底面（本题为三边长3、4、5的直角三角形）和3个矩形侧面，展开后两个底面应分别在侧面矩形的两侧，且三角形的每条边要和对应矩形的边长完全相等，折叠后才能吻合组成直三棱柱。我们逐一分析每个选项，判断折叠后是否能匹配原直三棱柱，排除正确选项即可得到错误选项。
【解析】
直三棱柱的表面展开图由2个全等的直角三角形（底面）、3个矩形（侧面）组成，两个底面需分别位于侧面矩形组的两侧，且三角形的三边与对应矩形的边长一一对应相等。
已知本题直三棱柱的底面是三边长为3、4、5的直角三角形：
选项A、B、C的展开图折叠后，两个直角三角形的边均能与对应矩形的边匹配，可还原为题干中的直三棱柱，均为正确的展开图；
选项D的展开图折叠时，两个直角三角形的边无法与所有矩形的边一一对应匹配，不能拼成原直三棱柱，是错误的展开图。
【答案】
D
【知识点】
直三棱柱展开图；几何体展开与折叠
【点评】
本题考查直三棱柱表面展开图的辨识，解题核心是抓住展开图中底面与侧面的边长对应关系，也可通过模拟折叠的方法快速判断，是立体几何展开类的基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别是AB，DC的中点。若AD=8，AB=6，则这个正六棱柱的侧面积为（
A.$48\sqrt{3}$
B.$96$
C.$144$
D.$96\sqrt{3}$
D
）A.$48\sqrt{3}$
B.$96$
C.$144$
D.$96\sqrt{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
要计算正六棱柱的侧面积，首先明确正六棱柱侧面积公式为“底面周长×侧棱长”，题中侧棱长已知为AD=8，因此核心是求底面正六边形的边长。观察视图可知AB的长度对应正六边形一组对边的距离，结合正六边形的性质即可求出边长，进而计算侧面积。
【解析】
设底面正六边形的边长为$a$：
1. 正六边形可分割为6个全等的正三角形，其对边之间的距离为边心距的2倍，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，因此对边距离为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a$。
2. 由视图可知AB=6对应正六边形的对边距离，因此$\sqrt{3}a=6$，解得$a=2\sqrt{3}$。
3. 正六棱柱的侧棱长为AD=8，侧面积为6个侧面矩形的面积和：
$S_{\mathrm{侧}}=6× a× AD=6×2\sqrt{3}×8=96\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
正六棱柱侧面积计算，正六边形的性质，几何体的三视图
【点评】
本题解题的关键是理解视图中AB的实际意义，是正六边形的对边距离而非边长，结合正六边形的特殊性质求出边长后代入侧面积公式即可求解，易错点是误将AB当作正六边形的边长导致计算错误。
【难度系数】
0.6
要计算正六棱柱的侧面积，首先明确正六棱柱侧面积公式为“底面周长×侧棱长”，题中侧棱长已知为AD=8，因此核心是求底面正六边形的边长。观察视图可知AB的长度对应正六边形一组对边的距离，结合正六边形的性质即可求出边长，进而计算侧面积。
【解析】
设底面正六边形的边长为$a$：
1. 正六边形可分割为6个全等的正三角形，其对边之间的距离为边心距的2倍，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，因此对边距离为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a$。
2. 由视图可知AB=6对应正六边形的对边距离，因此$\sqrt{3}a=6$，解得$a=2\sqrt{3}$。
3. 正六棱柱的侧棱长为AD=8，侧面积为6个侧面矩形的面积和：
$S_{\mathrm{侧}}=6× a× AD=6×2\sqrt{3}×8=96\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
正六棱柱侧面积计算，正六边形的性质，几何体的三视图
【点评】
本题解题的关键是理解视图中AB的实际意义，是正六边形的对边距离而非边长，结合正六边形的特殊性质求出边长后代入侧面积公式即可求解，易错点是误将AB当作正六边形的边长导致计算错误。
【难度系数】
0.6
3. (1)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6,16π的长方形,那么这个圆柱的体积等于
(2)如图所示,两个圆和一个长方形(阴影部分)恰好可以围成一个圆柱,长方形长为4π,宽为圆柱的高,则这个圆柱的体积为
144或384π
.(2)如图所示,两个圆和一个长方形(阴影部分)恰好可以围成一个圆柱,长方形长为4π,宽为圆柱的高,则这个圆柱的体积为
32π
.答案
3. (1)144或384π (2)32π
解析
【分析】
(1) 圆柱的侧面展开图的相邻两边分别对应圆柱的底面周长和高，题目未明确哪条边是底面周长，因此需要分两种情况讨论：分别以6、16π为底面周长，另一个数为高，先根据底面周长公式求出底面半径，再代入圆柱体积公式计算即可。
(2) 结合图形可知，阴影长方形的长4π对应圆柱的底面周长，右侧上下叠放的两个等圆是圆柱的上下底面，因此圆柱的高等于2倍的底面直径，先由底面周长求出底面半径，再计算高，最后代入体积公式求解。
【解析】
(1) 分两种情况计算：
① 当底面周长为16π，高为6时：
由底面周长公式$C=2π r$，得$r=\frac{16π}{2π}=8$，
圆柱体积$V=π r^2 h=π×8^2×6=384π$；
② 当底面周长为6，高为16π时：
由$C=2π r$，得$r=\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$，
圆柱体积$V=π r^2 h=π×(\frac{3}{π})^2×16π=144$。
因此(1)的结果为144或384π。
(2) 由题意得，圆柱底面周长$C=4π$，
则底面半径$r=\frac{4π}{2π}=2$，底面直径为$2r=4$，
观察图形可知圆柱的高等于2个底面直径的和，即$h=2×4=8$，
圆柱体积$V=π r^2 h=π×2^2×8=32π$。
【答案】
(1)144或384π；(2)32π
【知识点】
圆柱侧面展开特征，圆柱体积计算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查圆柱的侧面展开图性质和体积计算，第(1)题容易遗漏其中一种情况导致漏解，解题时要注意分类讨论；第(2)题需要结合图形准确判断圆柱高和底面周长对应的线段长度，考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 圆柱的侧面展开图的相邻两边分别对应圆柱的底面周长和高，题目未明确哪条边是底面周长，因此需要分两种情况讨论：分别以6、16π为底面周长，另一个数为高，先根据底面周长公式求出底面半径，再代入圆柱体积公式计算即可。
(2) 结合图形可知，阴影长方形的长4π对应圆柱的底面周长，右侧上下叠放的两个等圆是圆柱的上下底面，因此圆柱的高等于2倍的底面直径，先由底面周长求出底面半径，再计算高，最后代入体积公式求解。
【解析】
(1) 分两种情况计算：
① 当底面周长为16π，高为6时：
由底面周长公式$C=2π r$，得$r=\frac{16π}{2π}=8$，
圆柱体积$V=π r^2 h=π×8^2×6=384π$；
② 当底面周长为6，高为16π时：
由$C=2π r$，得$r=\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$，
圆柱体积$V=π r^2 h=π×(\frac{3}{π})^2×16π=144$。
因此(1)的结果为144或384π。
(2) 由题意得，圆柱底面周长$C=4π$，
则底面半径$r=\frac{4π}{2π}=2$，底面直径为$2r=4$，
观察图形可知圆柱的高等于2个底面直径的和，即$h=2×4=8$，
圆柱体积$V=π r^2 h=π×2^2×8=32π$。
【答案】
(1)144或384π；(2)32π
【知识点】
圆柱侧面展开特征，圆柱体积计算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查圆柱的侧面展开图性质和体积计算，第(1)题容易遗漏其中一种情况导致漏解，解题时要注意分类讨论；第(2)题需要结合图形准确判断圆柱高和底面周长对应的线段长度，考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. |教材变式（2025·吉安期末）如图，圆柱形容器的高为1 m，底面周长为4 m，在容器内壁离容器底部0.4 m的点B处有一蚊子。此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为
$\frac{2\sqrt{34}}{5}$
m.（容器厚度忽略不计）答案
4. $\frac{2\sqrt{34}}{5}$
解析
【分析】
要解决圆柱表面的最短路径问题，需先将曲面转化为平面：首先把圆柱侧面展开为矩形，由于壁虎在容器外壁、蚊子在容器内壁，需要作点A关于容器上沿（展开图的上边缘）的对称点，将外壁路径转化到和内壁同一侧，再根据“两点之间线段最短”，连接对称点和点B，所得线段长度就是最短距离，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 把圆柱侧面沿过点A的母线展开，得到长为4m（对应底面周长）、高为1m的矩形；
2. 作点A关于矩形上长边（对应容器上沿）的对称点$A'$，由轴对称性质可知，点A到上沿的路径长度等于点$A'$到上沿的路径长度；
3. 确定$A'$与B的水平、竖直距离：
因为A、B两点相对，水平距离为底面周长的一半：$4÷2=2\ \mathrm{m}$；
竖直方向：A离上沿0.6m，故$A'$到上沿距离为0.6m；B离底部0.4m，故B到上沿距离为$1-0.4=0.6\ \mathrm{m}$，因此$A'$到B的竖直总距离为$0.6+0.6=1.2=\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$；
4. 连接$A'B$，根据勾股定理计算最短距离：
$A'B=\sqrt{2^2+(\frac{6}{5})^2}=\sqrt{4+\frac{36}{25}}=\sqrt{\frac{136}{25}}=\frac{2\sqrt{34}}{5}\ \mathrm{m}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{34}}{5}$
【知识点】
圆柱侧面展开图；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心解题思想是将曲面问题转化为平面问题，要注意内外壁的特殊位置需要通过轴对称转化路径，计算时需准确对应两点的水平、竖直距离，避免出现长度计算错误。
【难度系数】
0.6
要解决圆柱表面的最短路径问题，需先将曲面转化为平面：首先把圆柱侧面展开为矩形，由于壁虎在容器外壁、蚊子在容器内壁，需要作点A关于容器上沿（展开图的上边缘）的对称点，将外壁路径转化到和内壁同一侧，再根据“两点之间线段最短”，连接对称点和点B，所得线段长度就是最短距离，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 把圆柱侧面沿过点A的母线展开，得到长为4m（对应底面周长）、高为1m的矩形；
2. 作点A关于矩形上长边（对应容器上沿）的对称点$A'$，由轴对称性质可知，点A到上沿的路径长度等于点$A'$到上沿的路径长度；
3. 确定$A'$与B的水平、竖直距离：
因为A、B两点相对，水平距离为底面周长的一半：$4÷2=2\ \mathrm{m}$；
竖直方向：A离上沿0.6m，故$A'$到上沿距离为0.6m；B离底部0.4m，故B到上沿距离为$1-0.4=0.6\ \mathrm{m}$，因此$A'$到B的竖直总距离为$0.6+0.6=1.2=\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$；
4. 连接$A'B$，根据勾股定理计算最短距离：
$A'B=\sqrt{2^2+(\frac{6}{5})^2}=\sqrt{4+\frac{36}{25}}=\sqrt{\frac{136}{25}}=\frac{2\sqrt{34}}{5}\ \mathrm{m}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{34}}{5}$
【知识点】
圆柱侧面展开图；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心解题思想是将曲面问题转化为平面问题，要注意内外壁的特殊位置需要通过轴对称转化路径，计算时需准确对应两点的水平、竖直距离，避免出现长度计算错误。
【难度系数】
0.6
5. (2025·武汉月考)如图，圆锥底面圆直径BC长是6 cm，母线AC长是6 cm，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到AC的中点D，最短路径长是 (
A.3 cm
B.$3\sqrt{3}$ cm
C.$3\sqrt{5}$ cm
D.6 cm
C
)A.3 cm
B.$3\sqrt{3}$ cm
C.$3\sqrt{5}$ cm
D.6 cm
答案
5. C
解析
【分析】
要解决圆锥表面的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：首先把圆锥侧面展开为平面扇形，利用两点之间线段最短，将路径转化为平面内两点的线段长度，再结合几何计算求解。第一步先根据底面周长和母线长算出侧面展开图的圆心角，第二步确定B、D两点在展开图中的位置和对应角度、边长，第三步用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 计算圆锥侧面展开图的圆心角：
已知底面直径$BC=6\mathrm{cm}$，则底面半径$r=3\mathrm{cm}$，底面周长$C_{\mathrm{底}}=2π r=6π\mathrm{cm}$。
设侧面展开图的圆心角为$n°$，母线长$AC=AB=6\mathrm{cm}$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$R$为母线长），弧长等于底面周长，代入得：
$\frac{nπ×6}{180}=6π$
解得$n=180$，即圆锥侧面展开图是半径为$6\mathrm{cm}$的半圆。
2. 确定展开图中各点的位置关系：
因为$BC$是底面直径，所以底面中弧$BC$的长度是底面周长的一半，对应展开图的圆心角为$\frac{180°}{2}=90°$，即展开后$∠ BAD=90°$。
已知$D$是$AC$中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC=3\mathrm{cm}$，$AB=6\mathrm{cm}$。
3. 计算最短路径长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\mathrm{cm}$
即蚂蚁爬行的最短路径长为$3\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
圆锥的表面展开图；弧长计算；勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，解题的关键是正确将圆锥侧面展开，准确确定展开图中各点的位置和对应角度，再结合勾股定理计算，易错点是误判展开图中B、C两点的夹角。
【难度系数】
0.6
要解决圆锥表面的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：首先把圆锥侧面展开为平面扇形，利用两点之间线段最短，将路径转化为平面内两点的线段长度，再结合几何计算求解。第一步先根据底面周长和母线长算出侧面展开图的圆心角，第二步确定B、D两点在展开图中的位置和对应角度、边长，第三步用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 计算圆锥侧面展开图的圆心角：
已知底面直径$BC=6\mathrm{cm}$，则底面半径$r=3\mathrm{cm}$，底面周长$C_{\mathrm{底}}=2π r=6π\mathrm{cm}$。
设侧面展开图的圆心角为$n°$，母线长$AC=AB=6\mathrm{cm}$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$R$为母线长），弧长等于底面周长，代入得：
$\frac{nπ×6}{180}=6π$
解得$n=180$，即圆锥侧面展开图是半径为$6\mathrm{cm}$的半圆。
2. 确定展开图中各点的位置关系：
因为$BC$是底面直径，所以底面中弧$BC$的长度是底面周长的一半，对应展开图的圆心角为$\frac{180°}{2}=90°$，即展开后$∠ BAD=90°$。
已知$D$是$AC$中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC=3\mathrm{cm}$，$AB=6\mathrm{cm}$。
3. 计算最短路径长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\mathrm{cm}$
即蚂蚁爬行的最短路径长为$3\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
圆锥的表面展开图；弧长计算；勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，解题的关键是正确将圆锥侧面展开，准确确定展开图中各点的位置和对应角度，再结合勾股定理计算，易错点是误判展开图中B、C两点的夹角。
【难度系数】
0.6
6. (2025·苏州模拟)如图,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$AD=2$,扇形$OBE$的圆心$O$在边$AB$上,点$E$在边$AD$上,$\overset{\frown}{BE}$与边$CD$相切,切点为$F$.若用图中扇形围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面圆半径为
$\frac{2}{3}$
.答案
6. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要解决本题，需利用“圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一核心关系推导：第一步先确定扇形半径，由$\overset{\frown}{BE}$与CD相切，结合矩形对边平行且邻边垂直的性质，可得扇形半径等于矩形的宽AD；第二步求扇形圆心角，在$Rt△ AOE$中根据已知边长推导角度，得到扇形的圆心角；第三步计算扇形弧长，再根据弧长与底面周长的等量关系求出底面半径。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BE}$与边CD相切，扇形OBE的半径与圆心O到CD的距离相等，矩形ABCD中$AD=2$，
∴扇形半径$R=OB=OE=AD=2$，
∵$AB=3$，
∴$OA=AB-OB=3-2=1$，
在$Rt△ AOE$中，$OE=2$，$OA=1$，
∴$\cos∠ AOE=\frac{OA}{OE}=\frac{1}{2}$，即$∠ AOE=60°$，
∴扇形的圆心角$∠ BOE=180°-60°=120°$，
∴$\overset{\frown}{BE}$的弧长为：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$，
设圆锥底面圆半径为$r$，根据底面周长等于侧面展开图弧长得：
$2π r=\frac{4π}{3}$，
解得$r=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
切线的性质，扇形弧长计算，圆锥展开图计算
【点评】
本题综合了矩形性质、切线性质、直角三角形角度计算和圆锥展开图的对应关系，解题的关键是准确推导扇形的半径和圆心角，再结合弧长与底面周长的等量关系求解。
【难度系数】
0.65
要解决本题，需利用“圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一核心关系推导：第一步先确定扇形半径，由$\overset{\frown}{BE}$与CD相切，结合矩形对边平行且邻边垂直的性质，可得扇形半径等于矩形的宽AD；第二步求扇形圆心角，在$Rt△ AOE$中根据已知边长推导角度，得到扇形的圆心角；第三步计算扇形弧长，再根据弧长与底面周长的等量关系求出底面半径。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BE}$与边CD相切，扇形OBE的半径与圆心O到CD的距离相等，矩形ABCD中$AD=2$，
∴扇形半径$R=OB=OE=AD=2$，
∵$AB=3$，
∴$OA=AB-OB=3-2=1$，
在$Rt△ AOE$中，$OE=2$，$OA=1$，
∴$\cos∠ AOE=\frac{OA}{OE}=\frac{1}{2}$，即$∠ AOE=60°$，
∴扇形的圆心角$∠ BOE=180°-60°=120°$，
∴$\overset{\frown}{BE}$的弧长为：$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$，
设圆锥底面圆半径为$r$，根据底面周长等于侧面展开图弧长得：
$2π r=\frac{4π}{3}$，
解得$r=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
切线的性质，扇形弧长计算，圆锥展开图计算
【点评】
本题综合了矩形性质、切线性质、直角三角形角度计算和圆锥展开图的对应关系，解题的关键是准确推导扇形的半径和圆心角，再结合弧长与底面周长的等量关系求解。
【难度系数】
0.65
