例1 如图，BD，AC相交于点O，OA=OD。若要用“SAS”证明△AOB ≌ △DOC，则还需要的条件是()。


A.$AB=CD$
B.$∠ BAO = ∠ CDO$
C.$OB=OC$
D.$∠ AOB=∠ DOC$

C

【分析】
首先回忆三角形全等“SAS”判定的内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。解题时先梳理已知条件：题目给出OA=OD，又因为AC、BD交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC，此时已经有一组边相等、一组夹角相等，要满足“SAS”的判定要求，还需要这组夹角的另一组对应边相等，也就是OB=OC，对应选项即可得出答案。
【解析】
要使用“SAS”证明△AOB ≌ △DOC，需满足两边及其夹角对应相等：
1. 已知条件：OA=OD，且∠AOB与∠DOC是对顶角，故∠AOB=∠DOC；
2. 根据“SAS”的要求，夹角∠AOB、∠DOC的两组邻边需分别相等，已知一组邻边OA=OD，因此还需要另一组邻边OB=OC。
逐个分析选项：
A选项AB=CD：此时满足的条件是SSA，不属于全等判定定理，无法证明全等，错误；
B选项∠BAO=∠CDO：结合已知条件可通过“ASA”判定全等，不符合“SAS”的要求，错误；
C选项OB=OC：可与已知条件共同满足“SAS”判定要求，正确；
D选项∠AOB=∠DOC是对顶角，为已知隐含条件，不需要额外添加，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形全等SAS判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形“SAS”判定的应用，解题时要注意“SAS”中的角必须是两条对应相等边的夹角，同时要善于挖掘图形中对顶角相等这类隐含条件，避免混淆不同的全等判定定理。
【难度系数】
0.8

例2 如图，线段AC，BD相交于点E，AE＝BE，AC＝BD.求证：△ADE≌△BCE.

证明：$\because AC=BD$，$AE=BE$，$\therefore AC-AE=BD-BE$，即 $EC=ED$. 在$△ ADE$ 和 $△ BCE$ 中，
$\begin{cases}AE=BE,\\∠ AED=∠ BEC,\\ED=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BCE(\mathrm{SAS}).$

【分析】要证明△ADE≌△BCE，首先梳理已知和隐含条件：题目已给出AE=BE，且AC与BD相交于点E，∠AED和∠BEC是对顶角，天然相等。此时还缺一组对应边相等的条件，结合已知AC=BD，根据等式性质，用AC减AE、BD减BE，即可得到EC=ED，刚好满足SAS判定三角形全等的条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AC=BD$，$AE=BE$，
$\therefore AC-AE=BD-BE$，即 $EC=ED$.
在$△ ADE$ 和 $△ BCE$ 中，
$\begin{cases}AE=BE,\\∠ AED=∠ BEC,\\ED=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BCE(\mathrm{SAS}).$
【答案】
证明：$\because AC=BD$，$AE=BE$，
$\therefore AC-AE=BD-BE$，即 $EC=ED$.
在$△ ADE$ 和 $△ BCE$ 中，
$\begin{cases}AE=BE,\\∠ AED=∠ BEC,\\ED=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BCE(\mathrm{SAS}).$
【知识点】
SAS判定全等、对顶角相等、线段和差计算
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题的关键是先通过已知线段的等量关系推导出缺失的对应边相等，再结合图形中的对顶角相等这一隐含条件，利用SAS定理即可完成证明，要注意养成挖掘图形隐含条件的习惯。
【难度系数】
0.8

1. 如图，已知点A，D，C，F在一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的一个条件是().


A.∠BCA=∠F
B.∠B=∠E
C.BC//EF
D.∠A=∠EDF

B

【分析】
首先明确已知条件：△ABC和△DEF中，已有AB=DE、BC=EF两组边对应相等。要判定两个三角形全等，根据全等判定定理，要么补充第三组边AC=DF用SSS判定，要么补充已知两组边的夹角相等（即∠B=∠E）用SAS判定。接下来逐一分析选项，排除不符合判定定理的选项即可得到答案，要注意SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定三角形全等。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，逐一分析选项：
A. 若添加∠BCA=∠F，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不符合全等三角形判定定理，无法判定△ABC≌△DEF，排除；
B. 若添加∠B=∠E，满足$\{\begin{array}{l}AB=DE\\ ∠ B=∠ E\\ BC=EF\end{array} $，可通过SAS判定△ABC≌△DEF，符合要求；
C. 若添加BC//EF，由平行线的性质可得∠BCA=∠F，和A选项情况一致，属于SSA，无法判定全等，排除；
D. 若添加∠A=∠EDF，同样属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），无法判定全等，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形SAS判定，平行线的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形的SAS判定定理，解题关键是明确SAS中相等的角必须是两组对应相等边的夹角，SSA不能作为三角形全等的判定依据，做题时需注意区分夹角与对角，避免混淆。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$AB=AD$，$AC=AE$。若$∠ D=32°$，$∠ A=48°$，则$∠ DCB$的度数是。

$80°$

【分析】
解题时首先观察已知边的等量关系与公共角，可先通过SAS判定定理证明△ABC和△ADE全等，得到∠B的度数；再结合三角形外角的性质，∠DCB是△ABC的外角，等于不相邻的两个内角∠A和∠B的和，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD（已知）\\∠ A=∠ A（公共角）\\AC=AE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE（SAS）$
$\therefore ∠ B=∠ D=32°$（全等三角形的对应角相等）
$\because ∠ DCB$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
$\therefore ∠ DCB=∠ A+∠ B=48°+32°=80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题核心是先通过SAS证明三角形全等得到对应角相等，再结合三角形外角性质求解，是全等三角形与三角形角度计算结合的典型题型。
【难度系数】
0.7

3. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ 1 = ∠ 2$. 求证：$AD ⊥ BC$，$BD = CD$.

证明：在$△ ABD$ 和 $△ ACD$ 中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ 1=∠ 2,\\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{SAS}). \ \therefore BD = CD$，$∠ ADB = ∠ ADC. \ \because ∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°. \ \therefore AD⊥ BC.$

【分析】
要证明$AD⊥BC$和$BD=CD$，可先证明$△ ABD$和$△ ACD$全等。首先梳理已知条件：题目给出$AB=AC$，$∠1=∠2$，且$AD$是两个三角形的公共边，刚好满足SAS三角形全等的判定条件。证明全等后，利用全等三角形对应边相等即可得到$BD=CD$，利用对应角相等可得$∠ADB=∠ADC$，再结合$∠ADB$和$∠ADC$组成平角、和为$180°$，即可推出两个角均为$90°$，从而证明$AD⊥BC$。
【解析】
证明：在$△ ABD$ 和 $△ ACD$ 中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ 1=∠ 2,\\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{SAS})$。
$\therefore BD = CD$，$∠ ADB = ∠ ADC$。
$\because ∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
$\therefore AD⊥ BC$。
【答案】
证明过程如上所述，可证得$AD ⊥ BC$，$BD = CD$。
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用，重点考查SAS全等判定规则的使用，以及全等三角形性质的灵活运用，要求学生能准确找到三角形全等的条件，结合角的数量关系完成垂直、线段相等的证明。
【难度系数】
0.85