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1. 估计68的立方根在 （
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
C
）A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
答案
1.C
解析
【分析】
要估算68的立方根的范围，需先找到与68相邻的两个能开得尽立方的正整数，利用立方与开立方的互逆关系，比较68和这两个数的大小，再根据立方根的性质判断其立方根的区间即可。
【解析】
首先计算相邻整数的立方：
$4^3=4×4×4=64$，$5^3=5×5×5=125$
因为$64＜68＜125$，根据立方根的性质：被开方数越大，对应的立方根也越大，可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{68}＜\sqrt[3]{125}$
即$4＜\sqrt[3]{68}＜5$，因此68的立方根在4和5之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 立方根估算 2. 有理数乘方
【点评】
本题属于估算无理数取值范围的基础题型，解题核心是找准与被开方数相邻的两个完全立方数，熟记1到10的整数立方能有效提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
要估算68的立方根的范围，需先找到与68相邻的两个能开得尽立方的正整数，利用立方与开立方的互逆关系，比较68和这两个数的大小，再根据立方根的性质判断其立方根的区间即可。
【解析】
首先计算相邻整数的立方：
$4^3=4×4×4=64$，$5^3=5×5×5=125$
因为$64＜68＜125$，根据立方根的性质：被开方数越大，对应的立方根也越大，可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{68}＜\sqrt[3]{125}$
即$4＜\sqrt[3]{68}＜5$，因此68的立方根在4和5之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 立方根估算 2. 有理数乘方
【点评】
本题属于估算无理数取值范围的基础题型，解题核心是找准与被开方数相邻的两个完全立方数，熟记1到10的整数立方能有效提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
2.若面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，推导出边长a的表达式；再通过“夹逼法”估算无理数的大小：找到两个相邻正整数，使它们的平方分别小于和大于a的被开方数，就能确定a的取值范围，最终匹配选项。
【解析】
解：
∵正方形的面积为10，边长为a，
根据正方形面积公式可得：$a^2=10$，
∵边长a为正数，
∴$a=\sqrt{10}$，
又
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
∴a的值在3和4之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义、无理数的估算、正方形面积计算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，熟练掌握常见整数的平方是用“夹逼法”估算算术平方根范围的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，推导出边长a的表达式；再通过“夹逼法”估算无理数的大小：找到两个相邻正整数，使它们的平方分别小于和大于a的被开方数，就能确定a的取值范围，最终匹配选项。
【解析】
解：
∵正方形的面积为10，边长为a，
根据正方形面积公式可得：$a^2=10$，
∵边长a为正数，
∴$a=\sqrt{10}$，
又
∵$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
∴a的值在3和4之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义、无理数的估算、正方形面积计算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，熟练掌握常见整数的平方是用“夹逼法”估算算术平方根范围的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 新考向·开放性问题（2024·广西）写出一个比$\sqrt{3}$大的整数：
2(答案不唯一)
。答案
3.2(答案不唯一)
解析
【分析】要写出比$\sqrt{3}$大的整数，首先需要估算出$\sqrt{3}$的取值范围。我们可以通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小来确定无理数的范围：找到两个连续整数，使得它们的平方分别小于3和大于3，即可得到$\sqrt{3}$的取值区间，再从区间外选取符合要求的整数即可。
【解析】解：$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，
$\therefore$根据算术平方根的性质可得$1＜\sqrt{3}＜2$，
因此所有大于等于2的整数都满足比$\sqrt{3}$大的要求，例如2（3、4等整数也可）。
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】估算无理数大小；算术平方根
【点评】本题为开放性基础题，解题核心是掌握利用平方运算估算无理数取值范围的方法，答案不唯一，任选符合要求的整数即可。
【难度系数】0.9
【解析】解：$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，
$\therefore$根据算术平方根的性质可得$1＜\sqrt{3}＜2$，
因此所有大于等于2的整数都满足比$\sqrt{3}$大的要求，例如2（3、4等整数也可）。
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】估算无理数大小；算术平方根
【点评】本题为开放性基础题，解题核心是掌握利用平方运算估算无理数取值范围的方法，答案不唯一，任选符合要求的整数即可。
【难度系数】0.9
4. 比较下列各数的大小(填“＞”“＜”或“=”):
(1)(2024·山西)$\sqrt{6}$
(2)$-2.3\_\_\_\_\_\_-\sqrt{5}$.
(3)$\frac{\sqrt{7}-1}{3}\_\_\_\_\_\_\frac{2}{3}$.
(1)(2024·山西)$\sqrt{6}$
＞
2.(2)$-2.3\_\_\_\_\_\_-\sqrt{5}$.
(3)$\frac{\sqrt{7}-1}{3}\_\_\_\_\_\_\frac{2}{3}$.
答案
4.(1)＞ (2)＜ (3)＜
解析
【分析】
要比较带无理数的实数大小，可根据数的类型选择合适的方法：①正数比较：均为正数时，平方后数值大的原数更大；②负数比较：先比较两个数的绝对值，绝对值大的负数反而更小；③同分母分数比较：分母相同，分子大的分数更大。我们按照这个思路分别解决三个小问即可。
【解析】
(1) 对$\sqrt{6}$和2分别平方，可得：$(\sqrt{6})^2=6$，$2^2=4$。
因为$6＞4$，且$\sqrt{6}$、2均为正数，正数平方越大原数越大，所以$\sqrt{6}＞2$。
(2) 先求两个负数的绝对值：$|-2.3|=2.3$，$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$。
对两个绝对值平方：$2.3^2=5.29$，$(\sqrt{5})^2=5$。
因为$5.29＞5$，所以$2.3＞\sqrt{5}$，根据负数比较大小的规则，绝对值大的数更小，可得$-2.3＜-\sqrt{5}$。
(3) 两个分数分母均为3，只需比较分子$\sqrt{7}-1$和2的大小。
将两个分子的大小关系变形，即比较$\sqrt{7}$和$2+1=3$的大小，对二者平方：$(\sqrt{7})^2=7$，$3^2=9$。
因为$7＜9$，所以$\sqrt{7}＜3$，可得$\sqrt{7}-1＜3-1=2$，同分母分数分子越小值越小，所以$\frac{\sqrt{7}-1}{3}＜\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)＞ (2)＜ (3)＜
【知识点】
实数大小比较、无理数估算、平方比较法
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题的核心是根据数的特征灵活选择比较方法，平方法是比较带根号实数大小的常用技巧，熟练掌握该方法可以快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
要比较带无理数的实数大小，可根据数的类型选择合适的方法：①正数比较：均为正数时，平方后数值大的原数更大；②负数比较：先比较两个数的绝对值，绝对值大的负数反而更小；③同分母分数比较：分母相同，分子大的分数更大。我们按照这个思路分别解决三个小问即可。
【解析】
(1) 对$\sqrt{6}$和2分别平方，可得：$(\sqrt{6})^2=6$，$2^2=4$。
因为$6＞4$，且$\sqrt{6}$、2均为正数，正数平方越大原数越大，所以$\sqrt{6}＞2$。
(2) 先求两个负数的绝对值：$|-2.3|=2.3$，$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$。
对两个绝对值平方：$2.3^2=5.29$，$(\sqrt{5})^2=5$。
因为$5.29＞5$，所以$2.3＞\sqrt{5}$，根据负数比较大小的规则，绝对值大的数更小，可得$-2.3＜-\sqrt{5}$。
(3) 两个分数分母均为3，只需比较分子$\sqrt{7}-1$和2的大小。
将两个分子的大小关系变形，即比较$\sqrt{7}$和$2+1=3$的大小，对二者平方：$(\sqrt{7})^2=7$，$3^2=9$。
因为$7＜9$，所以$\sqrt{7}＜3$，可得$\sqrt{7}-1＜3-1=2$，同分母分数分子越小值越小，所以$\frac{\sqrt{7}-1}{3}＜\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)＞ (2)＜ (3)＜
【知识点】
实数大小比较、无理数估算、平方比较法
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题的核心是根据数的特征灵活选择比较方法，平方法是比较带根号实数大小的常用技巧，熟练掌握该方法可以快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
5.有A,B两个底面均为正方形的长方体,长方体A的高为8,体积为27,长方体B的高为6,体积为24.比较这两个长方体的底面边长的大小.
答案
5.解:设长方体A的底面边长为x. 依题意,得$8x^{2}=27,\therefore x=\sqrt{\frac{27}{8}}$.设长方体B的底面边长为y. 依题意,得$6y^{2}=24,\therefore y=2$.$\because \frac{27}{8}＜4,\therefore \sqrt{\frac{27}{8}}＜\sqrt{4}$,即$\sqrt{\frac{27}{8}}＜2$. $\therefore$长方体A的底面边长小于长方体B的底面边长.
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体的体积公式：体积=底面积×高，已知两个长方体底面为正方形，正方形面积等于边长的平方，因此我们可以先分别设两个长方体的底面边长为x、y，根据给出的高和体积列方程，求出边长对应的算术平方根表达式；再根据“正数的算术平方根随被开方数的增大而增大”的性质，通过比较被开方数的大小，即可得出两个底面边长的大小关系。
【解析】
解：设长方体A的底面边长为$ x $（$ x＞0 $），根据长方体体积公式可得：
$ 8x^2=27 $
解得$ x=\sqrt{\frac{27}{8}} $（边长为正数，舍去负根）。
设长方体B的底面边长为$ y $（$ y＞0 $），同理可得：
$ 6y^2=24 $
化简得$ y^2=4 $，解得$ y=2 $（边长为正数，舍去负根）。
比较两个边长的大小：
因为$ \frac{27}{8}＜4 $，根据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$ \sqrt{\frac{27}{8}}＜\sqrt{4} $，即$ \sqrt{\frac{27}{8}}＜2 $，因此$ x＜y $。
【答案】
长方体A的底面边长小于长方体B的底面边长。
【知识点】
长方体体积计算；算术平方根的意义；实数大小比较
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何体的体积公式考查算术平方根的实际应用，解题的关键是根据体积公式正确求出底面边长的表达式，再利用二次根式的性质比较大小，注意实际问题中边长为正数，开方时仅需取算术平方根。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆长方体的体积公式：体积=底面积×高，已知两个长方体底面为正方形，正方形面积等于边长的平方，因此我们可以先分别设两个长方体的底面边长为x、y，根据给出的高和体积列方程，求出边长对应的算术平方根表达式；再根据“正数的算术平方根随被开方数的增大而增大”的性质，通过比较被开方数的大小，即可得出两个底面边长的大小关系。
【解析】
解：设长方体A的底面边长为$ x $（$ x＞0 $），根据长方体体积公式可得：
$ 8x^2=27 $
解得$ x=\sqrt{\frac{27}{8}} $（边长为正数，舍去负根）。
设长方体B的底面边长为$ y $（$ y＞0 $），同理可得：
$ 6y^2=24 $
化简得$ y^2=4 $，解得$ y=2 $（边长为正数，舍去负根）。
比较两个边长的大小：
因为$ \frac{27}{8}＜4 $，根据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$ \sqrt{\frac{27}{8}}＜\sqrt{4} $，即$ \sqrt{\frac{27}{8}}＜2 $，因此$ x＜y $。
【答案】
长方体A的底面边长小于长方体B的底面边长。
【知识点】
长方体体积计算；算术平方根的意义；实数大小比较
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何体的体积公式考查算术平方根的实际应用，解题的关键是根据体积公式正确求出底面边长的表达式，再利用二次根式的性质比较大小，注意实际问题中边长为正数，开方时仅需取算术平方根。
【难度系数】
0.85
6. 利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01):
(1)$\sqrt{867}\approx$
(1)$\sqrt{867}\approx$
29.44
. (2)$-\sqrt[3]{\dfrac{8}{25}}\approx$ -0.68
.答案
6.(1)29.44 (2)-0.68
解析
【分析】
这道题考查用计算器进行开方运算及近似数的取值。解题思路如下：1. 对于算术平方根运算，先使用计算器的开平方功能求出$\sqrt{867}$的精确值，再根据精确到0.01的要求，对千分位进行四舍五入得到结果；2. 对于负的立方根运算，先计算分数$\dfrac{8}{25}$的数值，再用计算器的开立方功能求出其立方根，最后添加负号，同样四舍五入保留两位小数即可。
【解析】
(1) 操作计算器计算$\sqrt{867}$：先按下开平方键“$\sqrt{}$”，再输入数字867，得到结果约为29.44486…，观察千分位数字为4，小于5，舍去千分位及之后的数，因此$\sqrt{867}\approx29.44$。
(2) 先计算$8÷25=0.32$，操作计算器计算$\sqrt[3]{0.32}$：按下开立方键，输入0.32，得到结果约为0.68399…，观察千分位数字为3，小于5，舍去千分位及之后的数，再添加负号，因此$-\sqrt[3]{\dfrac{8}{25}}\approx-0.68$。
【答案】
(1)29.44；(2)-0.68
【知识点】
计算器开平方；计算器开立方；近似数取值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查计算器开方功能的操作方法，解题时要注意区分开平方和开立方的按键，取近似值时需按要求的精确度进行四舍五入，避免因看错运算符号或取数位错误失分。
【难度系数】
0.9
这道题考查用计算器进行开方运算及近似数的取值。解题思路如下：1. 对于算术平方根运算，先使用计算器的开平方功能求出$\sqrt{867}$的精确值，再根据精确到0.01的要求，对千分位进行四舍五入得到结果；2. 对于负的立方根运算，先计算分数$\dfrac{8}{25}$的数值，再用计算器的开立方功能求出其立方根，最后添加负号，同样四舍五入保留两位小数即可。
【解析】
(1) 操作计算器计算$\sqrt{867}$：先按下开平方键“$\sqrt{}$”，再输入数字867，得到结果约为29.44486…，观察千分位数字为4，小于5，舍去千分位及之后的数，因此$\sqrt{867}\approx29.44$。
(2) 先计算$8÷25=0.32$，操作计算器计算$\sqrt[3]{0.32}$：按下开立方键，输入0.32，得到结果约为0.68399…，观察千分位数字为3，小于5，舍去千分位及之后的数，再添加负号，因此$-\sqrt[3]{\dfrac{8}{25}}\approx-0.68$。
【答案】
(1)29.44；(2)-0.68
【知识点】
计算器开平方；计算器开立方；近似数取值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查计算器开方功能的操作方法，解题时要注意区分开平方和开立方的按键，取近似值时需按要求的精确度进行四舍五入，避免因看错运算符号或取数位错误失分。
【难度系数】
0.9
7. 利用计算器比较下列各组数的大小：
(1) $\sqrt[3]{11}$
(1) $\sqrt[3]{11}$
＜
$\sqrt{5}$.(2) $\frac{5}{8}$ ＞
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.答案
7.(1)＜ (2)＞
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，可结合本节课用计算器开方的方法解题，思路如下：
1. 对于带根号的无理数比较大小，可先通过计算器计算出各数的近似值，再按照小数比较大小的规则判断；也可对同类型的无理数采用乘方法去掉根号后比较（正数乘方后越大，原数越大）。
2. 第(1)问既可以分别计算$\sqrt[3]{11}$和$\sqrt{5}$的近似值比较，也可以将两数同时6次方（2和3的最小公倍数是6），去掉根号后比较整数大小。
3. 第(2)问先计算出$\sqrt{5}$的近似值，再求出$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值，和$\frac{5}{8}$的数值比较即可。
【解析】
(1) 方法一（计算器法）：用计算器计算可得，$\sqrt[3]{11}\approx2.224$，$\sqrt{5}\approx2.236$，因为$2.224＜2.236$，所以$\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$。
方法二（乘方法）：$\sqrt[3]{11}$和$\sqrt{5}$均为正数，将两数同时6次方得：$(\sqrt[3]{11})^6=11^2=121$，$(\sqrt{5})^6=5^3=125$，因为$121＜125$，所以$\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$。
(2) 用计算器计算可得$\sqrt{5}\approx2.236$，则$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.236-1}{2}=0.618$，又$\frac{5}{8}=0.625$，因为$0.625＞0.618$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1)＜ (2)＞
【知识点】
计算器开方运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考察开方运算的操作和实数大小比较的方法，既可以借助计算器直接计算近似值比较，也可以通过乘方、作差等方法推导，掌握基础运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的大小比较，可结合本节课用计算器开方的方法解题，思路如下：
1. 对于带根号的无理数比较大小，可先通过计算器计算出各数的近似值，再按照小数比较大小的规则判断；也可对同类型的无理数采用乘方法去掉根号后比较（正数乘方后越大，原数越大）。
2. 第(1)问既可以分别计算$\sqrt[3]{11}$和$\sqrt{5}$的近似值比较，也可以将两数同时6次方（2和3的最小公倍数是6），去掉根号后比较整数大小。
3. 第(2)问先计算出$\sqrt{5}$的近似值，再求出$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值，和$\frac{5}{8}$的数值比较即可。
【解析】
(1) 方法一（计算器法）：用计算器计算可得，$\sqrt[3]{11}\approx2.224$，$\sqrt{5}\approx2.236$，因为$2.224＜2.236$，所以$\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$。
方法二（乘方法）：$\sqrt[3]{11}$和$\sqrt{5}$均为正数，将两数同时6次方得：$(\sqrt[3]{11})^6=11^2=121$，$(\sqrt{5})^6=5^3=125$，因为$121＜125$，所以$\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$。
(2) 用计算器计算可得$\sqrt{5}\approx2.236$，则$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.236-1}{2}=0.618$，又$\frac{5}{8}=0.625$，因为$0.625＞0.618$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1)＜ (2)＞
【知识点】
计算器开方运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考察开方运算的操作和实数大小比较的方法，既可以借助计算器直接计算近似值比较，也可以通过乘方、作差等方法推导，掌握基础运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8. 若$a=\sqrt[3]{7},b=\sqrt{5},c=2$，则$a,b,c$的大小关系为（
A.$b＜c＜a$
B.$b＜a＜c$
C.$a＜c＜b$
D.$a＜b＜c$
C
）A.$b＜c＜a$
B.$b＜a＜c$
C.$a＜c＜b$
D.$a＜b＜c$
答案
8.C
解析
【分析】
比较带根号的无理数大小时，可利用“正数同次乘方后大小关系不变”的性质，通过乘方去掉根号，将无理数转化为有理数再比较。首先比较a和c：a是三次根式，对二者同时三次方即可去根号；再比较c和b：b是二次根式，对二者同时平方去根号，最后整合三者大小关系即可得到结果。
【解析】
使用乘方法将无理数转化为有理数比较：
1. 比较a和c的大小
已知$a=\sqrt[3]{7}$，$c=2$，二者均为正数，同时三次方后大小关系不变：
$a^3=(\sqrt[3]{7})^3=7$，$c^3=2^3=8$
因为$7＜8$，所以$\sqrt[3]{7}＜2$，即$a＜c$。
2. 比较c和b的大小
已知$b=\sqrt{5}$，$c=2$，二者均为正数，同时平方后大小关系不变：
$b^2=(\sqrt{5})^2=5$，$c^2=2^2=4$
因为$5＞4$，所以$\sqrt{5}＞2$，即$c＜b$。
综上可得$a＜c＜b$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；无理数估算；乘方法比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心是通过乘方将无理数转化为有理数比较，这种转化思路在无理数相关问题中应用非常广泛，要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
比较带根号的无理数大小时，可利用“正数同次乘方后大小关系不变”的性质，通过乘方去掉根号，将无理数转化为有理数再比较。首先比较a和c：a是三次根式，对二者同时三次方即可去根号；再比较c和b：b是二次根式，对二者同时平方去根号，最后整合三者大小关系即可得到结果。
【解析】
使用乘方法将无理数转化为有理数比较：
1. 比较a和c的大小
已知$a=\sqrt[3]{7}$，$c=2$，二者均为正数，同时三次方后大小关系不变：
$a^3=(\sqrt[3]{7})^3=7$，$c^3=2^3=8$
因为$7＜8$，所以$\sqrt[3]{7}＜2$，即$a＜c$。
2. 比较c和b的大小
已知$b=\sqrt{5}$，$c=2$，二者均为正数，同时平方后大小关系不变：
$b^2=(\sqrt{5})^2=5$，$c^2=2^2=4$
因为$5＞4$，所以$\sqrt{5}＞2$，即$c＜b$。
综上可得$a＜c＜b$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；无理数估算；乘方法比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心是通过乘方将无理数转化为有理数比较，这种转化思路在无理数相关问题中应用非常广泛，要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
9. 写出所有符合下列条件的数：
(1)小于$\sqrt{37}$的所有正整数：______.
(2)大于$-\sqrt{10}$且小于$\sqrt{10}$的所有整数：______.
(3)绝对值小于$\sqrt{6}$的所有整数：______.
(1)小于$\sqrt{37}$的所有正整数：______.
(2)大于$-\sqrt{10}$且小于$\sqrt{10}$的所有整数：______.
(3)绝对值小于$\sqrt{6}$的所有整数：______.
答案
9.(1)1,2,3,4,5,6 (2)-3,-2,-1,0,1,2,3 (3) -2,-1,0,1,2
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是先估算出无理数的大小，确定其介于哪两个相邻整数之间，再结合题目对正整数、整数、绝对值的要求，筛选出符合条件的数即可。第一步先利用平方数估算算术平方根的范围，第二步根据范围找出对应的整数。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{37}$的取值范围：
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜37＜49$，所以$6＜\sqrt{37}＜7$，
因此小于$\sqrt{37}$的所有正整数为1,2,3,4,5,6。
(2) 先估算$\sqrt{10}$的取值范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，可得$-4＜-\sqrt{10}＜-3$，
因此大于$-\sqrt{10}$且小于$\sqrt{10}$的所有整数为-3,-2,-1,0,1,2,3。
(3) 先估算$\sqrt{6}$的取值范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$，
绝对值小于$\sqrt{6}$即满足$|x|＜\sqrt{6}$，也就是$-\sqrt{6}＜x＜\sqrt{6}$，
因此对应的所有整数为-2,-1,0,1,2。
【答案】
(1)1,2,3,4,5,6 (2)-3,-2,-1,0,1,2,3 (3)-2,-1,0,1,2
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 整数的概念 3. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是掌握用相邻整数估算算术平方根范围的方法，再结合数的分类和绝对值的定义筛选符合条件的数，是对估算能力的基础考查，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心思路是先估算出无理数的大小，确定其介于哪两个相邻整数之间，再结合题目对正整数、整数、绝对值的要求，筛选出符合条件的数即可。第一步先利用平方数估算算术平方根的范围，第二步根据范围找出对应的整数。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{37}$的取值范围：
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜37＜49$，所以$6＜\sqrt{37}＜7$，
因此小于$\sqrt{37}$的所有正整数为1,2,3,4,5,6。
(2) 先估算$\sqrt{10}$的取值范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，可得$-4＜-\sqrt{10}＜-3$，
因此大于$-\sqrt{10}$且小于$\sqrt{10}$的所有整数为-3,-2,-1,0,1,2,3。
(3) 先估算$\sqrt{6}$的取值范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$，
绝对值小于$\sqrt{6}$即满足$|x|＜\sqrt{6}$，也就是$-\sqrt{6}＜x＜\sqrt{6}$，
因此对应的所有整数为-2,-1,0,1,2。
【答案】
(1)1,2,3,4,5,6 (2)-3,-2,-1,0,1,2,3 (3)-2,-1,0,1,2
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 整数的概念 3. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是掌握用相邻整数估算算术平方根范围的方法，再结合数的分类和绝对值的定义筛选符合条件的数，是对估算能力的基础考查，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
10. 如图，这是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为22 600 cm³，高h等于底面半径r的5.48倍，则底面半径r是多少厘米？(π取3.14，结果精确到0.01 cm)
答案
10. 解:根据题意,得$π r^{2}h=22600$,又$\because h=5.48r,\therefore π r^{2} · 5.48r=22600$,即$17.2072r^{3}=22600$,解得$r\approx10.95$.答:底面半径r大约是10.95 cm.
解析
【分析】
解题时首先回忆圆柱的体积计算公式，题目已经给出阻车桩的体积、高h和底面半径r的数量关系，我们可以先将h用含r的代数式代入体积公式，得到只含有r的方程，再通过计算求出r³的值，最后开立方并按要求取近似值即可得到底面半径r的数值。
【解析】
解：根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，结合题意得：
$π r^2 h = 22600$
又$\because h=5.48r$，将其代入上式可得：
$π r^2 · 5.48r = 22600$
将$π=3.14$代入计算系数：
$3.14×5.48 r^3=22600$
即$17.2072r^3=22600$
变形得$r^3=\frac{22600}{17.2072}\approx1313.4$
开立方得$r\approx\sqrt[3]{1313.4}\approx10.95$
【答案】
底面半径r大约是10.95 cm
【知识点】
圆柱体积计算，开立方运算，近似数取值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查圆柱体积公式的运用和开方运算的实际应用，解题核心是通过已知的变量关系消元，将方程转化为仅含待求量的形式再计算，计算过程中要注意精度要求。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆圆柱的体积计算公式，题目已经给出阻车桩的体积、高h和底面半径r的数量关系，我们可以先将h用含r的代数式代入体积公式，得到只含有r的方程，再通过计算求出r³的值，最后开立方并按要求取近似值即可得到底面半径r的数值。
【解析】
解：根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，结合题意得：
$π r^2 h = 22600$
又$\because h=5.48r$，将其代入上式可得：
$π r^2 · 5.48r = 22600$
将$π=3.14$代入计算系数：
$3.14×5.48 r^3=22600$
即$17.2072r^3=22600$
变形得$r^3=\frac{22600}{17.2072}\approx1313.4$
开立方得$r\approx\sqrt[3]{1313.4}\approx10.95$
【答案】
底面半径r大约是10.95 cm
【知识点】
圆柱体积计算，开立方运算，近似数取值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查圆柱体积公式的运用和开方运算的实际应用，解题核心是通过已知的变量关系消元，将方程转化为仅含待求量的形式再计算，计算过程中要注意精度要求。
【难度系数】
0.75
11. NEW 新考向·阅读理解 阅读下面的材料，解答问题：
我们知道，$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分。你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将$\sqrt{2}$减去其整数部分，差就是小数部分。
又例如：
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请解答：
(1) $\sqrt{17}$的整数部分是________，小数部分是________。
(2) 若$a$是$\sqrt{70}$的整数部分，$b$是$\sqrt{5}$的小数部分，求$a+b-\sqrt{5}+3$的平方根。
我们知道，$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分。你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将$\sqrt{2}$减去其整数部分，差就是小数部分。
又例如：
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请解答：
(1) $\sqrt{17}$的整数部分是________，小数部分是________。
(2) 若$a$是$\sqrt{70}$的整数部分，$b$是$\sqrt{5}$的小数部分，求$a+b-\sqrt{5}+3$的平方根。
答案
11.解:(1)4 $\sqrt{17}-4$ (2)$\because \sqrt{64}＜\sqrt{70}＜\sqrt{81}$,即$8＜\sqrt{70}＜9$,$\therefore \sqrt{70}$的整数部分为8,即$a=8$.$\because \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{5}＜3$,$\therefore \sqrt{5}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{5}-2$,即$b=\sqrt{5}-2$.$\therefore a+b-\sqrt{5}+3=8+\sqrt{5}-2-\sqrt{5}+3=9$.$\because \pm\sqrt{9}=\pm3$,$\therefore a+b-\sqrt{5}+3$的平方根为$\pm3$.
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是用夹逼法确定无理数介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是该无理数的整数部分，用无理数减去它的整数部分即可得到小数部分。第(1)问直接估算√17的范围就能得到对应的整数、小数部分；第(2)问先分别估算√70和√5的范围求出a、b的值，再代入代数式计算，最后根据平方根的定义求解即可。
【解析】
(1) 先估算√17的取值范围：
∵$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
∴$\sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分为$\sqrt{17}-4$。
(2) 第一步求a的值：
∵$\sqrt{64}＜\sqrt{70}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{70}＜9$
∴$\sqrt{70}$的整数部分$a=8$。
第二步求b的值：
∵$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
∴$\sqrt{5}$的小数部分为$\sqrt{5}-2$，即$b=\sqrt{5}-2$。
第三步代入代数式计算：
将$a=8$，$b=\sqrt{5}-2$代入$a+b-\sqrt{5}+3$得：
原式$=8+\sqrt{5}-2-\sqrt{5}+3=9$。
第四步求平方根：
∵$(\pm3)^2=9$，
∴9的平方根是$\pm3$，即$a+b-\sqrt{5}+3$的平方根为$\pm3$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；(2) $\pm3$
【知识点】
无理数的估算，平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题是估算类的典型基础题，解题关键是掌握夹逼法确定无理数整数部分和小数部分的方法，计算平方根时注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心思路是用夹逼法确定无理数介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是该无理数的整数部分，用无理数减去它的整数部分即可得到小数部分。第(1)问直接估算√17的范围就能得到对应的整数、小数部分；第(2)问先分别估算√70和√5的范围求出a、b的值，再代入代数式计算，最后根据平方根的定义求解即可。
【解析】
(1) 先估算√17的取值范围：
∵$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
∴$\sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分为$\sqrt{17}-4$。
(2) 第一步求a的值：
∵$\sqrt{64}＜\sqrt{70}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{70}＜9$
∴$\sqrt{70}$的整数部分$a=8$。
第二步求b的值：
∵$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
∴$\sqrt{5}$的小数部分为$\sqrt{5}-2$，即$b=\sqrt{5}-2$。
第三步代入代数式计算：
将$a=8$，$b=\sqrt{5}-2$代入$a+b-\sqrt{5}+3$得：
原式$=8+\sqrt{5}-2-\sqrt{5}+3=9$。
第四步求平方根：
∵$(\pm3)^2=9$，
∴9的平方根是$\pm3$，即$a+b-\sqrt{5}+3$的平方根为$\pm3$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；(2) $\pm3$
【知识点】
无理数的估算，平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题是估算类的典型基础题，解题关键是掌握夹逼法确定无理数整数部分和小数部分的方法，计算平方根时注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
