三、解答题
7. 已知：如图，$△ ABC$和线段$DE$，$DE=AB$.
求作：$△ DEF$，使$∠ D=∠ A$，$DF=AC$.（要求尺规作图，保留作图痕迹）

解：
作法：
1. 作∠EDG = ∠A：
① 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；
② 以点D为圆心，AM长为半径画弧，交线段DE于点P；
③ 以点P为圆心，MN长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点G，过点D、G作射线DG；
2. 在射线DG上截取线段DF，使DF = AC；
3. 连接EF，所得的△DEF即为所求作的三角形，保留全部尺规作图痕迹。

【分析】
要构造符合要求的△DEF，已知DE=AB，需同时满足∠D=∠A、DF=AC两个条件，可按如下思路解题：首先利用尺规作一个角等于已知角的方法，作出∠EDG=∠A，满足角相等的条件；接着在新作出的射线DG上截取线段DF，使DF的长度等于AC，满足边相等的条件；最后连接EF，即可得到所求的三角形。
【解析】
作法如下：
1. 作∠EDG = ∠A：
① 以点A为圆心，取任意适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；
② 以点D为圆心，AM的长度为半径画弧，交线段DE于点P；
③ 以点P为圆心，MN的长度为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点G，过点D、G作射线DG；
2. 在射线DG上截取线段DF，使得DF = AC；
3. 连接EF，所得△DEF即为所求作的三角形，作图过程需保留全部尺规作图痕迹。
【答案】
作法：
1. 作∠EDG = ∠A：
① 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；
② 以点D为圆心，AM长为半径画弧，交线段DE于点P；
③ 以点P为圆心，MN长为半径画弧，与步骤②中所作的弧交于点G，过点D、G作射线DG；
2. 在射线DG上截取线段DF，使DF = AC；
3. 连接EF，所得的△DEF即为所求作的三角形，保留全部尺规作图痕迹。
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 尺规作等线段
3. 尺规作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图题，主要考查尺规作等角、作等线段的基本操作，解题时要理清作图的先后顺序，理解每一步作图的原理，这类基础作图是复杂尺规作图的核心基础，需要熟练掌握操作步骤。
【难度系数】
0.8

8. 如图，点E，F在线段AC上，AE=CF，AD//BC，AD=CB，试判断BE与DF的关系，并说明理由.

解：BE与DF的关系为$BE=DF$，且$BE// DF$，理由如下：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ A=∠ C$。
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EF=CF+EF$，即$AF=CE$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中，
$\{\begin{array}{l}AD=CB \\∠ A=∠ C \\AF=CE\end{array} $
$\therefore △ ADF≌△ CBE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BE=DF$，$∠ AFD=∠ CEB$，
$\therefore BE// DF$。

【分析】
要判断两条线段的关系，需从数量关系和位置关系两方面入手分析：首先由AD//BC可推出内错角∠A=∠C；已知AE=CF，给两边同时加上公共线段EF，即可得到AF=CE；结合已知AD=CB，刚好满足SAS的全等判定条件，可证明△ADF和△CBE全等；再根据全等三角形的性质，得到对应边相等即BE=DF，对应角∠AFD=∠CEB，这两个角是BE、DF被AC所截形成的内错角，内错角相等即可推出BE//DF，最终得到BE和DF的完整关系。
【解析】
BE与DF的关系为$BE=DF$，且$BE// DF$，理由如下：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠A=∠C$。
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EF=CF+EF$，即$AF=CE$。
在$△ADF$和$△CBE$中，
$\{\begin{array}{l}AD=CB \\∠A=∠C \\AF=CE\end{array} $
$\therefore △ADF≌△CBE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BE=DF$，$∠AFD=∠CEB$，
$\therefore BE// DF$。
【答案】
$BE=DF$且$BE// DF$
【知识点】
平行线的判定与性质，全等三角形SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题时要注意线段关系包含数量和位置两类，避免漏答；解题核心是通过已知条件推导三角形全等的判定要素，再借助全等的性质得到待证结论，能很好地锻炼基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

9. 如图，$CA=CD$，$CB=CE$，$∠ DCA=∠ ECB$. 求证：$DE=AB$.

证明：
∵ ∠DCA = ∠ECB，
∴ ∠DCA + ∠ACE = ∠ECB + ∠ACE，
即 ∠DCE = ∠ACB。
在△DCE和△ACB中，
$\{\begin{array}{l}CD = CA \\∠DCE = ∠ACB \\CE = CB\end{array} $
∴ △DCE ≌ △ACB（SAS），
∴ DE = AB。

【分析】
要证明DE=AB，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导，即需要证明△DCE≌△ACB。首先梳理已知条件：已有两组对应边相等（CA=CD、CB=CE），缺少对应夹角相等的条件。结合已知∠DCA=∠ECB，给两个角同时加上公共角∠ACE，即可得到∠DCE=∠ACB，满足SAS全等判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ ∠DCA = ∠ECB，
∴ ∠DCA + ∠ACE = ∠ECB + ∠ACE，
即 ∠DCE = ∠ACB。
在△DCE和△ACB中：
$\begin{cases} CD = CA \\∠DCE = ∠ACB \\CE = CB \end{cases}$
∴ △DCE ≌ △ACB（SAS），
∴ DE = AB。
【答案】
证明：
∵ ∠DCA = ∠ECB，
∴ ∠DCA + ∠ACE = ∠ECB + ∠ACE，
即 ∠DCE = ∠ACB。
在△DCE和△ACB中：
$\begin{cases} CD = CA \\∠DCE = ∠ACB \\CE = CB \end{cases}$
∴ △DCE ≌ △ACB（SAS），
∴ DE = AB。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心是通过角的和差转化得到全等所需的对应角，熟练掌握全等三角形的判定定理和对应边相等的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8