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4. 若实数$x$，$y$满足$(x-y)(x-y+3)=0$，则$x-y$的值是（
A.$-1$或$-2$
B.$-1$或$2$
C.$0$或$3$
D.$0$或$-3$
D
）.A.$-1$或$-2$
B.$-1$或$2$
C.$0$或$3$
D.$0$或$-3$
答案
4. D
解析
【分析】
本题可运用整体换元的思想求解，将$x-y$看作一个整体，原式就转化为关于这个整体的一元二次方程，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，分别列等式求解即可得到$x-y$的取值。
【解析】
设$t = x - y$，则原方程可转化为：
$t(t + 3) = 0$
根据零乘积的性质，可得：
$t = 0$ 或 $t + 3 = 0$
解得：
$t = 0$ 或 $t = -3$
即$x-y$的值为0或-3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
换元思想；因式分解法解方程；零乘积性质
【点评】
本题核心是运用整体代换的思想把含两个未知数的式子转化为单个未知数的方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
本题可运用整体换元的思想求解，将$x-y$看作一个整体，原式就转化为关于这个整体的一元二次方程，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，分别列等式求解即可得到$x-y$的取值。
【解析】
设$t = x - y$，则原方程可转化为：
$t(t + 3) = 0$
根据零乘积的性质，可得：
$t = 0$ 或 $t + 3 = 0$
解得：
$t = 0$ 或 $t = -3$
即$x-y$的值为0或-3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
换元思想；因式分解法解方程；零乘积性质
【点评】
本题核心是运用整体代换的思想把含两个未知数的式子转化为单个未知数的方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
5. 方程$2(x+1)^2 = x+1$的根是
$x_1=-\dfrac{1}{2},\ x_2=-1$
.答案
5. $x_1=-\dfrac{1}{2},\ x_2=-1$
解析
【分析】
观察方程结构可知，左右两边均含有公因式$(x+1)$，若直接两边除以$(x+1)$，会忽略$x+1=0$的情况导致漏根。因此正确思路为：先移项将右边的项移到左边，再提取公因式$(x+1)$，把原方程转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的全部根。
【解析】
解：移项，得 $2(x+1)^2 - (x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$，得 $(x+1)[2(x+1)-1] = 0$
整理括号内的代数式，得 $(x+1)(2x+1) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $2x+1=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$x_1=-\dfrac{1}{2},\ x_2=-1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要注意不能直接在方程两边除以含未知数的整式，避免漏根，根据方程的结构特征选择因式分解法求解更简便。
【难度系数】
0.7
观察方程结构可知，左右两边均含有公因式$(x+1)$，若直接两边除以$(x+1)$，会忽略$x+1=0$的情况导致漏根。因此正确思路为：先移项将右边的项移到左边，再提取公因式$(x+1)$，把原方程转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的全部根。
【解析】
解：移项，得 $2(x+1)^2 - (x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$，得 $(x+1)[2(x+1)-1] = 0$
整理括号内的代数式，得 $(x+1)(2x+1) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+1=0$ 或 $2x+1=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$x_1=-\dfrac{1}{2},\ x_2=-1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要注意不能直接在方程两边除以含未知数的整式，避免漏根，根据方程的结构特征选择因式分解法求解更简便。
【难度系数】
0.7
6. 解下列方程：
(1) $16(x-2)^2=9(x+3)^2$；
(2) $(x+5)^2=3x+15$；
(3) $(2-3x)(x+4)=(3x-2)(1-5x)$。
(1) $16(x-2)^2=9(x+3)^2$；
(2) $(x+5)^2=3x+15$；
(3) $(2-3x)(x+4)=(3x-2)(1-5x)$。
答案
6. 解：(1) $x_1=17,\ x_2=-\dfrac{1}{7}$.
(2) $x_1=-2,\ x_2=-5$.
(3) $x_1=\dfrac{2}{3},\ x_2=\dfrac{5}{4}$.
(2) $x_1=-2,\ x_2=-5$.
(3) $x_1=\dfrac{2}{3},\ x_2=\dfrac{5}{4}$.
解析
【分析】
这三道一元二次方程均可采用因式分解法求解，避免展开为一般式带来的计算误差：
(1) 观察到方程左右两边均为平方形式，移项后可利用平方差公式因式分解，转化为两个一次式乘积为0的形式求解；
(2) 右侧代数式可提取公因式得到与左侧相同的$(x+5)$项，移项后提取公因式即可因式分解求解；
(3) 注意到$(2-3x)$与$(3x-2)$互为相反数，移项变形后提取公因式$(2-3x)$，即可因式分解求解，无需展开多项式。
【解析】
(1) 移项得：$16(x-2)^2 - 9(x+3)^2 = 0$
利用平方差公式因式分解：$[4(x-2)]^2 - [3(x+3)]^2 = 0$
即$[4(x-2)-3(x+3)][4(x-2)+3(x+3)] = 0$
化简括号内的代数式得：$(x-17)(7x+1)=0$
$\therefore x-17=0$ 或 $7x+1=0$
解得：$x_1=17,\ x_2=-\dfrac{1}{7}$
(2) 先将右侧变形得：$(x+5)^2 = 3(x+5)$
移项得：$(x+5)^2 - 3(x+5) = 0$
提取公因式$(x+5)$得：$(x+5)(x+5-3)=0$
即$(x+5)(x+2)=0$
$\therefore x+5=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=-5,\ x_2=-2$
(3) 移项得：$(2-3x)(x+4) - (3x-2)(1-5x) = 0$
将$3x-2$变形为$-(2-3x)$，代入得：$(2-3x)(x+4) + (2-3x)(1-5x) = 0$
提取公因式$(2-3x)$得：$(2-3x)[(x+4)+(1-5x)] = 0$
化简括号内的代数式得：$(2-3x)(5-4x)=0$
$\therefore 2-3x=0$ 或 $5-4x=0$
解得：$x_1=\dfrac{2}{3},\ x_2=\dfrac{5}{4}$
【答案】
(1) $x_1=17,\ x_2=-\dfrac{1}{7}$；
(2) $x_1=-2,\ x_2=-5$；
(3) $x_1=\dfrac{2}{3},\ x_2=\dfrac{5}{4}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的典型应用题型，解题时优先观察方程结构特征，选择简便的因式分解法可大幅降低计算量，减少计算错误，需要熟练掌握常见的因式分解技巧，灵活选用解方程的方法。
【难度系数】
0.7
这三道一元二次方程均可采用因式分解法求解，避免展开为一般式带来的计算误差：
(1) 观察到方程左右两边均为平方形式，移项后可利用平方差公式因式分解，转化为两个一次式乘积为0的形式求解；
(2) 右侧代数式可提取公因式得到与左侧相同的$(x+5)$项，移项后提取公因式即可因式分解求解；
(3) 注意到$(2-3x)$与$(3x-2)$互为相反数，移项变形后提取公因式$(2-3x)$，即可因式分解求解，无需展开多项式。
【解析】
(1) 移项得：$16(x-2)^2 - 9(x+3)^2 = 0$
利用平方差公式因式分解：$[4(x-2)]^2 - [3(x+3)]^2 = 0$
即$[4(x-2)-3(x+3)][4(x-2)+3(x+3)] = 0$
化简括号内的代数式得：$(x-17)(7x+1)=0$
$\therefore x-17=0$ 或 $7x+1=0$
解得：$x_1=17,\ x_2=-\dfrac{1}{7}$
(2) 先将右侧变形得：$(x+5)^2 = 3(x+5)$
移项得：$(x+5)^2 - 3(x+5) = 0$
提取公因式$(x+5)$得：$(x+5)(x+5-3)=0$
即$(x+5)(x+2)=0$
$\therefore x+5=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=-5,\ x_2=-2$
(3) 移项得：$(2-3x)(x+4) - (3x-2)(1-5x) = 0$
将$3x-2$变形为$-(2-3x)$，代入得：$(2-3x)(x+4) + (2-3x)(1-5x) = 0$
提取公因式$(2-3x)$得：$(2-3x)[(x+4)+(1-5x)] = 0$
化简括号内的代数式得：$(2-3x)(5-4x)=0$
$\therefore 2-3x=0$ 或 $5-4x=0$
解得：$x_1=\dfrac{2}{3},\ x_2=\dfrac{5}{4}$
【答案】
(1) $x_1=17,\ x_2=-\dfrac{1}{7}$；
(2) $x_1=-2,\ x_2=-5$；
(3) $x_1=\dfrac{2}{3},\ x_2=\dfrac{5}{4}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的典型应用题型，解题时优先观察方程结构特征，选择简便的因式分解法可大幅降低计算量，减少计算错误，需要熟练掌握常见的因式分解技巧，灵活选用解方程的方法。
【难度系数】
0.7
7. 我们知道 $x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b)$，则 $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ 就可转化为 $(x - a)(x - b) = 0$。请你用上面的方法解下列方程：
(1) $x^2 - 3x - 4 = 0$；
(2) $x^2 - 7x + 6 = 0$；
(3) $x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$；
(4) $(x^2 + 1)^2 - 4(x^2 + 1) - 5 = 0$。
(1) $x^2 - 3x - 4 = 0$；
(2) $x^2 - 7x + 6 = 0$；
(3) $x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$；
(4) $(x^2 + 1)^2 - 4(x^2 + 1) - 5 = 0$。
答案
(1)
∵$x^2 - 3x - 4 = 0$，
∴$(x - 4)(x + 1) = 0$，
∴$x_1 = 4$，$x_2 = -1$.
(2)
∵$x^2 - 7x + 6 = 0$，
∴$(x - 6)(x - 1) = 0$，
∴$x_1 = 6$，$x_2 = 1$.
(3)
∵$\sqrt{6} = \sqrt{3} × \sqrt{2}$，
∴$x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = (x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2}) = 0$.
∴$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = \sqrt{2}$.
(4) 令$a = x^2 + 1$，原式$= a^2 - 4a - 5 = 0$.
∴$(a - 5)(a + 1) = 0$，
∴$a_1 = 5$，$a_2 = -1$.
∵$a = x^2 + 1 ＞ 0$，
∴$a = 5$.
∴$x^2 + 1 = 5$.
∴$x^2 = 4$.
∴$x_1 = 2$，$x_2 = -2$.
∵$x^2 - 3x - 4 = 0$，
∴$(x - 4)(x + 1) = 0$，
∴$x_1 = 4$，$x_2 = -1$.
(2)
∵$x^2 - 7x + 6 = 0$，
∴$(x - 6)(x - 1) = 0$，
∴$x_1 = 6$，$x_2 = 1$.
(3)
∵$\sqrt{6} = \sqrt{3} × \sqrt{2}$，
∴$x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = (x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2}) = 0$.
∴$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = \sqrt{2}$.
(4) 令$a = x^2 + 1$，原式$= a^2 - 4a - 5 = 0$.
∴$(a - 5)(a + 1) = 0$，
∴$a_1 = 5$，$a_2 = -1$.
∵$a = x^2 + 1 ＞ 0$，
∴$a = 5$.
∴$x^2 + 1 = 5$.
∴$x^2 = 4$.
∴$x_1 = 2$，$x_2 = -2$.
解析
【分析】
本题需借助十字相乘法因式分解求解一元二次方程，核心思路是将二次三项式转化为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，转化为一元一次方程求解。具体思考步骤：①对于形如$x^2+px+q=0$的方程，找到两个数a、b，满足$a+b=p$、$ab=q$，即可将方程分解为$(x+a)(x+b)=0$；②令每个因式为0，求解得到方程的根；③第(4)题中$x^2+1$重复出现，可采用换元法将其设为新未知数，先解新方程，再结合新未知数的取值范围筛选结果，最后求解x的值。
【解析】
(1) $\because x^2 - 3x - 4 = 0$，
$\therefore (x - 4)(x + 1) = 0$，
$\therefore x-4=0$或$x+1=0$，
$\therefore x_1 = 4$，$x_2 = -1$.
(2) $\because x^2 - 7x + 6 = 0$，
$\therefore (x - 6)(x - 1) = 0$，
$\therefore x-6=0$或$x-1=0$，
$\therefore x_1 = 6$，$x_2 = 1$.
(3) $\because \sqrt{6} = \sqrt{3} × \sqrt{2}$，
$\therefore x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = (x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2}) = 0$，
$\therefore x-\sqrt{3}=0$或$x-\sqrt{2}=0$，
$\therefore x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = \sqrt{2}$.
(4) 令$a = x^2 + 1$，原式转化为$a^2 - 4a - 5 = 0$，
$\therefore (a - 5)(a + 1) = 0$，
$\therefore a-5=0$或$a+1=0$，解得$a_1 = 5$，$a_2 = -1$，
$\because a = x^2 + 1 ＞ 0$，$\therefore a=-1$不符合题意，舍去，
$\therefore x^2 + 1 = 5$，即$x^2 = 4$，
$\therefore x_1 = 2$，$x_2 = -2$.
【答案】
(1) $x_1=4,x_2=-1$；(2) $x_1=6,x_2=1$；(3) $x_1=\sqrt{3},x_2=\sqrt{2}$；(4) $x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解方程、十字相乘法因式分解、换元法解方程
【点评】
本题重点考查十字相乘法解一元二次方程的应用，解题关键是准确找到对应常数完成因式分解，换元思想可以简化结构复杂的方程，求解时要注意换元后新变量的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
本题需借助十字相乘法因式分解求解一元二次方程，核心思路是将二次三项式转化为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，转化为一元一次方程求解。具体思考步骤：①对于形如$x^2+px+q=0$的方程，找到两个数a、b，满足$a+b=p$、$ab=q$，即可将方程分解为$(x+a)(x+b)=0$；②令每个因式为0，求解得到方程的根；③第(4)题中$x^2+1$重复出现，可采用换元法将其设为新未知数，先解新方程，再结合新未知数的取值范围筛选结果，最后求解x的值。
【解析】
(1) $\because x^2 - 3x - 4 = 0$，
$\therefore (x - 4)(x + 1) = 0$，
$\therefore x-4=0$或$x+1=0$，
$\therefore x_1 = 4$，$x_2 = -1$.
(2) $\because x^2 - 7x + 6 = 0$，
$\therefore (x - 6)(x - 1) = 0$，
$\therefore x-6=0$或$x-1=0$，
$\therefore x_1 = 6$，$x_2 = 1$.
(3) $\because \sqrt{6} = \sqrt{3} × \sqrt{2}$，
$\therefore x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = (x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2}) = 0$，
$\therefore x-\sqrt{3}=0$或$x-\sqrt{2}=0$，
$\therefore x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = \sqrt{2}$.
(4) 令$a = x^2 + 1$，原式转化为$a^2 - 4a - 5 = 0$，
$\therefore (a - 5)(a + 1) = 0$，
$\therefore a-5=0$或$a+1=0$，解得$a_1 = 5$，$a_2 = -1$，
$\because a = x^2 + 1 ＞ 0$，$\therefore a=-1$不符合题意，舍去，
$\therefore x^2 + 1 = 5$，即$x^2 = 4$，
$\therefore x_1 = 2$，$x_2 = -2$.
【答案】
(1) $x_1=4,x_2=-1$；(2) $x_1=6,x_2=1$；(3) $x_1=\sqrt{3},x_2=\sqrt{2}$；(4) $x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解方程、十字相乘法因式分解、换元法解方程
【点评】
本题重点考查十字相乘法解一元二次方程的应用，解题关键是准确找到对应常数完成因式分解，换元思想可以简化结构复杂的方程，求解时要注意换元后新变量的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
