7.在$\odot O$中，弦$AB$和弦$AC$构成的$∠ BAC=48°$，$M$，$N$分别是$AB$和$AC$的中点，则$∠ MON$的度数为________.

7.$132°$或$48°$ 【解析】分两种情况：
当AB,AC在圆心异侧时(如图1)，
当AB,AC在圆心同侧时(如图2).

【分析】
首先根据垂径定理的推论可知，圆心与弦中点的连线垂直于弦，因此可得$OM⊥AB$、$ON⊥AC$，即两个垂足处的角均为$90°$。由于弦$AB$、$AC$的位置不确定，需分两种情况讨论：①$AB$、$AC$在圆心$O$的异侧；②$AB$、$AC$在圆心$O$的同侧，再结合多边形内角和性质计算$∠ MON$的度数即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当$AB$、$AC$在圆心$O$异侧时（如图1）：
$\because M$是$AB$的中点，$O$是圆心，根据垂径定理推论，$\therefore OM⊥AB$，即$∠ AMO=90°$，
同理可得$ON⊥AC$，即$∠ ANO=90°$，
四边形$AMON$的内角和为$360°$，已知$∠ BAC=48°$，
$\therefore ∠ MON=360°-∠ AMO-∠ ANO-∠ BAC=360°-90°-90°-48°=132°$。
2. 当$AB$、$AC$在圆心$O$同侧时（如图2）：
设$OM$与$AC$交于点$D$，由垂径定理推论得$OM⊥AB$、$ON⊥AC$，$\therefore ∠ AMD=∠ OND=90°$，
又$\because ∠ ADM=∠ ODN$（对顶角相等），
在$△ ADM$和$△ ODN$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ MON=∠ BAC=48°$。
【答案】
$132°$或$48°$

【知识点】
垂径定理；分类讨论思想；多边形内角和
【点评】
本题核心考查垂径定理的应用，解题关键是注意弦相对于圆心的位置有两种可能性，需分类讨论，易错点是忽略其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

8.石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史,是我国古代石拱桥的代表.图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为$\overset{\frown}{AB}$,桥的跨度(弧所对的弦长)$AB=26\ \mathrm{m}$.设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$,半径$OC⊥ AB$,垂足为$D$,拱高(弧的中点到弦的距离)$CD=5\ \mathrm{m}$,连结$OB$.
(1)直接判断$AD$与$BD$的数量关系.
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1 m).

8.(1)解:$\because$半径$OC⊥ AB$,$\therefore AD=BD$.
(2)设主桥拱半径为$R$,$\because AB=26,CD=5$,
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×26=13$,
$OD=OC-CD=R-5$,
在Rt△OBD中,$OB^{2}=BD^{2}+OD^{2}$,
即$R^{2}=13^{2}+(R-5)^{2}$,解得$R=19.4$,
$\therefore R=19$,因此,这座石拱桥主桥拱半径约为19 m.

【分析】
（1）第一问已知OC是$\odot O$的半径，且$OC⊥ AB$，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，可直接判断$AD$与$BD$的数量关系。
（2）第二问求圆弧半径，可先设半径为$R$，先利用垂径定理求出$BD$的长度，再用含$R$的式子表示出$OD$的长度；观察得$△ OBD$是直角三角形，根据勾股定理列关于$R$的方程，解方程后按要求取近似值即可得到结果。
【解析】
(1) 解：$\because OC$是$\odot O$的半径，且$OC⊥ AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
$\therefore AD=BD$。
(2) 设主桥拱所在圆的半径为$R\ \mathrm{m}$，
$\because AB=26\ \mathrm{m}$，由(1)可得$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×26=13\ \mathrm{m}$，
$\because$拱高$CD=5\ \mathrm{m}$，$OC=R$，
$\therefore OD=OC-CD=R-5$，
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$∠ ODB=90°$，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，
其中$OB$为圆的半径，即$OB=R$，代入得：
$R^2=13^2+(R-5)^2$
展开化简：$R^2=169+R^2-10R+25$，
移项得$10R=194$，
解得$R=19.4\approx19$。
【答案】
(1) $AD=BD$；
(2) 这座石拱桥主桥拱半径约为$\boldsymbol{19\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程法解几何问题
【点评】
本题以石拱桥为实际背景，将生活问题转化为圆的几何模型，重点考查垂径定理和勾股定理的综合应用，解题核心是构造直角三角形，通过设未知数列方程求解，能有效锻炼学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.8

9.如图所示,隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为12 m,宽AB为3 m,隧道的顶端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7 m.
(1)求圆弧AED所在圆的半径.
(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆货运卡车高6.5 m,宽2.3 m,问这辆货运卡车能否通过该隧道？

9.解:(1)如图①,设圆弧AED所在圆的圆心为点O,半径为R,连结OE交AD于点F,连结OA,OD.
由题意,得OF垂直平分AD,$AF=6$,
$OF=R-(7-3)=R-4$.
在Rt△AOF中,由勾股定理,
得$AF^{2}+OF^{2}=OA^{2}$,即$6^{2}+(R-4)^{2}=R^{2}$,
解得$R=6.5$,即圆弧AED所在圆的半径为6.5 m.

(2)如图②,能通过.理由如下:
由题意易知$GH=2.3$,$GH⊥ OE$,
圆的半径$OH=6.5$,
在Rt△OGH中,由勾股定理,
得$OG=\sqrt{6.5^{2}-2.3^{2}}\approx6.08$,
点G与BC的距离为$7-6.5+6.08=6.58＞6.5$,
$\therefore$能通过.

【分析】
(1) 求圆弧所在圆的半径，可利用垂径定理：圆弧中点与圆心的连线垂直平分弦AD。我们先设出圆心和半径，构造直角三角形，将直角三角形三边用含半径的代数式表示，再借助勾股定理列方程求解即可。
(2) 判断卡车能否通过，本质是验证水平宽度为2.3m的位置对应的隧道高度是否≥卡车高度6.5m，同样结合垂径定理构造直角三角形，计算对应位置的高度后和卡车高度对比即可得到结论。
【解析】
(1) 如图①，设圆弧AED所在圆的圆心为点O，半径为R，连结OE交AD于点F，连结OA、OD。
由垂径定理可得OF垂直平分AD，矩形中BC=AD=12m，因此$AF=6$；E高出BC7m，AB=3m，可得E到AD的距离为$7-3=4$m，因此$OF=R-4$。
在Rt△AOF中，由勾股定理得$AF^{2}+OF^{2}=OA^{2}$，代入得$6^{2}+(R-4)^{2}=R^{2}$，展开计算得$36+R^2-8R+16=R^2$，化简解得$R=6.5$。
(2) 能通过，理由如下：
如图②，取水平宽度距离OE为2.3m的位置作GH⊥OE交圆弧于H，连结OH，则$GH=2.3$，圆的半径$OH=6.5$。
在Rt△OGH中，由勾股定理得$OG=\sqrt{6.5^{2}-2.3^{2}}\approx6.08$，点G与BC的距离为$7-6.5+6.08=6.58＞6.5$，即该位置隧道高度大于卡车高度，因此卡车能通过。
【答案】
(1) 圆弧AED所在圆的半径为6.5 m；
(2) 这辆货运卡车能通过该隧道。


【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题属于几何实际应用类题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际通行问题转化为几何长度计算问题，既考察了垂径定理、勾股定理的基础应用，也锻炼了学生建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7