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1.已知圆弧所在圆的半径为 6，该弧所对的圆心角为$90°$，则这条弧的长为（
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
B
）A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
答案
B
解析
【分析】
本题考查弧长的计算，解题思路为：首先回忆弧长计算公式，明确公式中每个字母代表的含义：l为弧长，n为弧所对的圆心角度数，R为圆弧所在圆的半径；再从题干中提取已知条件：圆心角n=90°，半径R=6；最后将已知数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为：$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中n为圆心角度数，R为圆的半径）
已知n=90°，R=6，代入公式得：
$ l=\frac{90×π×6}{180}=3π $
因此这条弧的长为3π，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的直接应用，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值计算时注意不要和扇形面积公式混淆，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查弧长的计算，解题思路为：首先回忆弧长计算公式，明确公式中每个字母代表的含义：l为弧长，n为弧所对的圆心角度数，R为圆弧所在圆的半径；再从题干中提取已知条件：圆心角n=90°，半径R=6；最后将已知数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为：$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中n为圆心角度数，R为圆的半径）
已知n=90°，R=6，代入公式得：
$ l=\frac{90×π×6}{180}=3π $
因此这条弧的长为3π，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的直接应用，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值计算时注意不要和扇形面积公式混淆，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
2.若$150°$的圆心角所对的弧长为$5π$，则此弧所在圆的半径为（
A.12
B.9
C.6
D.5
C
）A.12
B.9
C.6
D.5
答案
C
解析
【分析】
本题已知圆心角的度数和对应弧长，要求圆的半径，解题关键是熟练掌握弧长公式。首先回忆弧长计算公式：$l = \frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），我们已知$l$和$n$的数值，只需将公式变形为求$r$的形式，再代入数值计算即可。
【解析】
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中：
弧长$l=5π$，圆心角$n=150°$，代入公式得：
$5π=\frac{150π r}{180}$
两边同时约去$π$，得：
$5=\frac{150r}{180}$
化简右侧分数：$\frac{150}{180}=\frac{5}{6}$，则：
$5=\frac{5r}{6}$
两边同时乘以6，再除以5，解得：
$r=6$
【答案】
C
【知识点】
弧长公式的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对弧长公式的掌握和简单代数运算，解题时需注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式，代入数值计算时做好约分可简化计算过程，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题已知圆心角的度数和对应弧长，要求圆的半径，解题关键是熟练掌握弧长公式。首先回忆弧长计算公式：$l = \frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），我们已知$l$和$n$的数值，只需将公式变形为求$r$的形式，再代入数值计算即可。
【解析】
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中：
弧长$l=5π$，圆心角$n=150°$，代入公式得：
$5π=\frac{150π r}{180}$
两边同时约去$π$，得：
$5=\frac{150r}{180}$
化简右侧分数：$\frac{150}{180}=\frac{5}{6}$，则：
$5=\frac{5r}{6}$
两边同时乘以6，再除以5，解得：
$r=6$
【答案】
C
【知识点】
弧长公式的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对弧长公式的掌握和简单代数运算，解题时需注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式，代入数值计算时做好约分可简化计算过程，避免出错。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,若将$△ AOC$绕点$O$顺时针旋转$90°$得到$△ BOD$,则$\overset{\frown}{AB}$的长为（
A.$6π$
B.$\frac{9}{2}π$
C.$3π$
D.$\frac{3}{2}π$
D
）A.$6π$
B.$\frac{9}{2}π$
C.$3π$
D.$\frac{3}{2}π$
答案
D
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AB}$的长，需先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径），因此解题分两步走：首先确定圆心角$∠ AOB$的度数，再求出半径$OA$的长度，最后代入公式计算即可。首先根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，可直接得到$∠ AOB$的度数；再结合网格的边长即可求出半径$OA$的长度。
【解析】
$\because$将$△ AOC$绕点$O$顺时针旋转$90°$得到$△ BOD$，
$\therefore ∠ AOB=90°$，且$OA=OB$。
由网格可知每个小正方形边长为1，可得$OA=3$，即$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径$r=3$，所对圆心角$n=90°$。
根据弧长公式：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×3}{180}=\frac{3}{2}π$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合旋转的性质确定弧对应的圆心角度数，结合网格得到半径长度，再代入弧长公式计算即可，考查学生对基础公式和性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{AB}$的长，需先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径），因此解题分两步走：首先确定圆心角$∠ AOB$的度数，再求出半径$OA$的长度，最后代入公式计算即可。首先根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，可直接得到$∠ AOB$的度数；再结合网格的边长即可求出半径$OA$的长度。
【解析】
$\because$将$△ AOC$绕点$O$顺时针旋转$90°$得到$△ BOD$，
$\therefore ∠ AOB=90°$，且$OA=OB$。
由网格可知每个小正方形边长为1，可得$OA=3$，即$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径$r=3$，所对圆心角$n=90°$。
根据弧长公式：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×3}{180}=\frac{3}{2}π$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合旋转的性质确定弧对应的圆心角度数，结合网格得到半径长度，再代入弧长公式计算即可，考查学生对基础公式和性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=8,AC=6,分别以点 B,C 为圆心,$\frac{1}{2}BC$长为半径画弧,交 BC 于点 P,交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,则图中阴影部分的面积为 (
A.$24-\frac{25}{4}π$
B.$24-\frac{25}{2}π$
C.$48-\frac{25}{4}π$
D.$48-\frac{25}{2}π$
A
)A.$24-\frac{25}{4}π$
B.$24-\frac{25}{2}π$
C.$48-\frac{25}{4}π$
D.$48-\frac{25}{2}π$
答案
A
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用割补法，用直角三角形ABC的面积减去两个扇形的面积之和即可。解题分三步推进：第一步先用勾股定理求出斜边BC的长度，得到扇形的半径；第二步计算直角三角形ABC的面积；第三步观察两个扇形的圆心角为∠B和∠C，结合三角形内角和可知两个圆心角之和为90°，因此两个扇形的面积和等于圆心角为90°、半径为5的扇形面积，最后用三角形面积减去扇形面积和即可得到阴影面积。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
∴扇形的半径$r=\frac{1}{2}BC=5$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×8×6=24$
∵∠B+∠C=180°-∠A=90°
∴两个扇形的面积和为圆心角90°、半径为5的扇形面积：
$S_{扇形和}=\frac{90°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{4}×π×5^2=\frac{25}{4}π$
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形和}=24-\frac{25}{4}π$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，扇形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题是不规则阴影面积计算的典型题型，解题核心是利用三角形内角和将两个分散的扇形面积合并计算，省去了分别求解扇形面积的繁琐步骤，掌握割补法是求解这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可采用割补法，用直角三角形ABC的面积减去两个扇形的面积之和即可。解题分三步推进：第一步先用勾股定理求出斜边BC的长度，得到扇形的半径；第二步计算直角三角形ABC的面积；第三步观察两个扇形的圆心角为∠B和∠C，结合三角形内角和可知两个圆心角之和为90°，因此两个扇形的面积和等于圆心角为90°、半径为5的扇形面积，最后用三角形面积减去扇形面积和即可得到阴影面积。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
∴扇形的半径$r=\frac{1}{2}BC=5$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×8×6=24$
∵∠B+∠C=180°-∠A=90°
∴两个扇形的面积和为圆心角90°、半径为5的扇形面积：
$S_{扇形和}=\frac{90°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{4}×π×5^2=\frac{25}{4}π$
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形和}=24-\frac{25}{4}π$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，扇形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题是不规则阴影面积计算的典型题型，解题核心是利用三角形内角和将两个分散的扇形面积合并计算，省去了分别求解扇形面积的繁琐步骤，掌握割补法是求解这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
5.一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板如图①所示，该展板的部分示意图如图②所示，其中O为圆心，OA，OB长分别为两个扇形的半径。已知扇面宣传展板的面积为$\frac{16}{3}π$ m²，若OA=5 m，OB=3 m，则扇面宣传展板所对的圆心角的度数为 （
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
C
）A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确扇面（扇环）的面积等于大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积。我们可以设圆心角的度数为$n°$，结合扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，把已知的OA、OB长度和扇面面积代入面积差的等式，列方程求解就能得到圆心角的度数。
【解析】
设扇面所对的圆心角的度数为$n°$。
根据扇面面积=大扇形面积-小扇形面积，可得：
$\frac{nπ · OA^2}{360} - \frac{nπ · OB^2}{360} = \frac{16}{3}π$
将$OA=5\mathrm{m}$，$OB=3\mathrm{m}$代入上式：
$\frac{nπ × 5^2}{360} - \frac{nπ × 3^2}{360} = \frac{16}{3}π$
化简左边：
$\frac{nπ(25 - 9)}{360} = \frac{16nπ}{360}$
即$\frac{16nπ}{360} = \frac{16}{3}π$
两边同时约去$16π$，得：$\frac{n}{360} = \frac{1}{3}$
解得$n=120$，即圆心角为$120°$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，一元一次方程应用，扇环面积计算
【点评】
本题是扇形面积的基础应用题，解题核心是理解扇环面积为两个同圆心扇形的面积差，结合扇形面积公式建立方程即可求解，属于基础公式应用类考题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确扇面（扇环）的面积等于大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积。我们可以设圆心角的度数为$n°$，结合扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，把已知的OA、OB长度和扇面面积代入面积差的等式，列方程求解就能得到圆心角的度数。
【解析】
设扇面所对的圆心角的度数为$n°$。
根据扇面面积=大扇形面积-小扇形面积，可得：
$\frac{nπ · OA^2}{360} - \frac{nπ · OB^2}{360} = \frac{16}{3}π$
将$OA=5\mathrm{m}$，$OB=3\mathrm{m}$代入上式：
$\frac{nπ × 5^2}{360} - \frac{nπ × 3^2}{360} = \frac{16}{3}π$
化简左边：
$\frac{nπ(25 - 9)}{360} = \frac{16nπ}{360}$
即$\frac{16nπ}{360} = \frac{16}{3}π$
两边同时约去$16π$，得：$\frac{n}{360} = \frac{1}{3}$
解得$n=120$，即圆心角为$120°$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，一元一次方程应用，扇环面积计算
【点评】
本题是扇形面积的基础应用题，解题核心是理解扇环面积为两个同圆心扇形的面积差，结合扇形面积公式建立方程即可求解，属于基础公式应用类考题。
【难度系数】
0.7
