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7. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$AB=6$，$BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线，延长 $BC$ 到点 $E$，使 $CE=CD$，则 $BE$ 的长为 （$\boldsymbol{}$）
A. 7
B. 8
C. $\dfrac{17}{2}$
D. 9
A. 7
B. 8
C. $\dfrac{17}{2}$
D. 9
答案
D
8. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$BC=1$，$∠ ABC$ 与 $∠ ACB$ 的平分线交于点 $O$，过点 $O$ 作 $DE // BC$，分别交 $AB$、$AC$ 于点 $D$、$E$，则 $BD$ 的长为 （ ）
A. $\dfrac{1}{4}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{2}{3}$
A. $\dfrac{1}{4}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{2}{3}$
答案
B
9. 如图,在等边三角形$ABC$中,$AC=9$,点$O$在$AC$上,且$AO=3$,$P$是$AB$上的一动点,连接$OP$,将线段$OP$绕点$O$逆时针旋转$60°$得到线段$OD$,要使点$D$恰好落在$BC$上,则$AP$的长为______.
答案
6
10. 如图,在$△ ABC$中,D为AB边上一点,$DF⊥ BC$于点F,延长FD、CA交于点E.若$∠ E=30°$,$AD=AE$.求证:$△ ABC$为等边三角形.
答案
证明：$\because AD = AE，$
$\therefore\angle ADE=\angle E = 30^{\circ}，$
$\therefore\angle CAB=\angle E+\angle ADE = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}。$
$\because DF\perp BC，$$\therefore\angle EFC = 90^{\circ}，$
$\therefore\angle C = 90^{\circ}-\angle E = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}，$
$\therefore\angle B = 180^{\circ}-\angle C-\angle CAB = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}，$
$\therefore\angle C=\angle B=\angle CAB，$
$\therefore\triangle ABC$为等边三角形。
$\therefore\angle ADE=\angle E = 30^{\circ}，$
$\therefore\angle CAB=\angle E+\angle ADE = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}。$
$\because DF\perp BC，$$\therefore\angle EFC = 90^{\circ}，$
$\therefore\angle C = 90^{\circ}-\angle E = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}，$
$\therefore\angle B = 180^{\circ}-\angle C-\angle CAB = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}，$
$\therefore\angle C=\angle B=\angle CAB，$
$\therefore\triangle ABC$为等边三角形。
11. 如图，C 为线段 AE 上一点（不与点 A、E 重合），在 AE 同侧作等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ.
(1)求证:$AD=BE$.
(2)求证:$△ APC≌△ BQC$.
(3)求证:$△ PCQ$是等边三角形.
(1)求证:$AD=BE$.
(2)求证:$△ APC≌△ BQC$.
(3)求证:$△ PCQ$是等边三角形.
答案
证明：
(1)$\because\triangle ABC$和$\triangle CDE$是等边三角形，$\therefore AC = BC，$$CD = CE，$$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}，$
$\therefore\angle ACB+\angle BCD=\angle DCE+\angle BCD，$即$\angle ACD=\angle BCE。$
在$\triangle ADC$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}，$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BEC(SAS)，$$\therefore AD = BE。$ (2)由
(1)，得$\triangle ADC\cong\triangle BEC，$
$\therefore\angle CAD=\angle CBE，$即$\angle CAP=\angle CBQ。$
$\because\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}，$
$\therefore\angle BCD = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCE = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}，$
$\therefore\angle ACB=\angle BCD，$即$\angle ACP=\angle BCQ。$
在$\triangle APC$和$\triangle BQC$中，$\begin{cases}\angle ACP=\angle BCQ\\AC = BC\\\angle CAP=\angle CBQ\end{cases}，$
$\therefore\triangle APC\cong\triangle BQC(ASA)。$ (3)由
(2)，得$\triangle APC\cong\triangle BQC，$$\therefore CP = CQ。$
又$\because\angle BCD = 60^{\circ}，$即$\angle PCQ = 60^{\circ}，$
$\therefore\triangle PCQ$是等边三角形。
(1)$\because\triangle ABC$和$\triangle CDE$是等边三角形，$\therefore AC = BC，$$CD = CE，$$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}，$
$\therefore\angle ACB+\angle BCD=\angle DCE+\angle BCD，$即$\angle ACD=\angle BCE。$
在$\triangle ADC$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}，$
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BEC(SAS)，$$\therefore AD = BE。$ (2)由
(1)，得$\triangle ADC\cong\triangle BEC，$
$\therefore\angle CAD=\angle CBE，$即$\angle CAP=\angle CBQ。$
$\because\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}，$
$\therefore\angle BCD = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle DCE = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}，$
$\therefore\angle ACB=\angle BCD，$即$\angle ACP=\angle BCQ。$
在$\triangle APC$和$\triangle BQC$中，$\begin{cases}\angle ACP=\angle BCQ\\AC = BC\\\angle CAP=\angle CBQ\end{cases}，$
$\therefore\triangle APC\cong\triangle BQC(ASA)。$ (3)由
(2)，得$\triangle APC\cong\triangle BQC，$$\therefore CP = CQ。$
又$\because\angle BCD = 60^{\circ}，$即$\angle PCQ = 60^{\circ}，$
$\therefore\triangle PCQ$是等边三角形。
