7.【探究】计算下列各式，然后回答问题：
(1) $(a+1)(a+3)=$ .
(2) $(a+2)(a-3)=$ .
(3) $(a-2)(a+4)=$ .
(4) $(a-4)(a-3)=$ .
【发现】(5)从上面的计算中，你能总结出什么规律？$(x+p)(x+q)=$ .
【学以致用】计算下列各题：
(6) $(x+2y)(x-2y)=$ .
(7)已知$p$，$q$为正整数.
①若$(x-6)(x-p)=x^2+mx+24$，则$m=$ ；
②若$(x+p)(x+q)=x^2+mx+24$，则$m=$ .

7. (1) $a^2+4a+3$
(2) $a^2-a-6$
(3) $a^2+2a-8$
(4) $a^2-7a+12$
(5) $x^2+(p+q)x+pq$
(6) $x^2-4y^2$
(7) ① -10 ② 10, 11, 14, 25

【分析】
本题围绕多项式乘法展开，解题思路如下：1. 前4小问直接运用多项式乘多项式法则：两个多项式相乘，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项即可得到结果；2. 第(5)小问观察前4问的展开式结构，总结一次项系数、常数项与原式中两个常数的关系，即可得到通用规律；3. 第(6)小问可直接套用第(5)问的规律计算，也可利用平方差公式计算；4. 第(7)小问①先利用规律展开等式左边，对比左右两边的常数项先求出p的值，再计算m的值；②先根据规律得到pq=24，再找出所有正整数因数对，计算每对因数的和即可得到m的所有可能值。
【解析】
(1) 按多项式乘法法则计算：
$(a+1)(a+3)=a· a + 3a + a + 1×3 = a^2 + 4a + 3$
(2) 同理计算：
$(a+2)(a-3)=a^2 - 3a + 2a - 2×3 = a^2 - a - 6$
(3) 计算得：
$(a-2)(a+4)=a^2 + 4a - 2a - 2×4 = a^2 + 2a - 8$
(4) 计算得：
$(a-4)(a-3)=a^2 - 3a - 4a + (-4)×(-3) = a^2 - 7a + 12$
(5) 观察上述4个式子的展开结果，可总结规律：
$(x+p)(x+q) = x^2 + (p+q)x + pq$
(6) 套用上述规律，令$p=2y$，$q=-2y$：
$(x+2y)(x-2y) = x^2 + (2y - 2y)x + 2y·(-2y) = x^2 - 4y^2$
(7) ① 先展开左边式子：
$(x-6)(x-p) = x^2 + (-6 - p)x + 6p$
对比右边$x^2+mx+24$，得$6p=24$，解得$p=4$（p为正整数符合要求），则$m=-6 - 4 = -10$
② 由规律可得$pq=24$，p、q为正整数，所有正整数因数对为：(1,24)、(2,12)、(3,8)、(4,6)，对应$p+q$的值分别为25、14、11、10，故m的可能值为10,11,14,25。
【答案】
(1) $a^2+4a+3$；(2) $a^2-a-6$；(3) $a^2+2a-8$；(4) $a^2-7a+12$；(5) $x^2+(p+q)x+pq$；(6) $x^2-4y^2$；(7) ①$-10$；②$10,11,14,25$
【知识点】
多项式乘多项式法则；整式乘法规律探究；分类讨论思想
【点评】
本题从基础的多项式乘法计算入手，逐步引导学生自主总结常用的整式乘法规律，既巩固了整式乘法的基础运算能力，又考查了规律归纳、迁移应用的能力，最后一问需要分类列举所有因数对，易出现漏解的问题，解题时需注意有序列举。
【难度系数】
0.7

8. (2024·陕西) 计算：$(x-1)(x+2)-3(x-1).$

$x^2-2x+1$

【分析】
本题属于整式的混合运算题，有两种解题思路：思路1：按照运算顺序，先分别计算多项式乘多项式$(x-1)(x+2)$、单项式乘多项式$3(x-1)$，再去括号、合并同类项得到结果，去括号时需注意括号前是负号时，括号内各项要变号；思路2：观察式子可发现两项都含有公因式$(x-1)$，先提取公因式简化运算，再展开计算即可。
【解析】
方法一（按运算顺序计算）：
1. 根据多项式乘多项式法则计算$(x-1)(x+2)$：
$(x-1)(x+2)=x· x + x·2 -1· x -1·2 = x^2 +2x -x -2 = x^2 +x -2$
2. 根据单项式乘多项式法则计算$3(x-1)$：
$3(x-1)=3x -3$
3. 代入原式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 +x -2) - (3x -3)\\&=x^2 +x -2 -3x +3\\&=x^2 -2x +1\end{aligned}$
方法二（提取公因式法）：
观察到原式两项均含公因式$(x-1)$，提取公因式后计算：
$\begin{aligned}原式&=(x-1)(x+2 -3)\\&=(x-1)(x-1)\\&=x^2 -2x +1\end{aligned}$
【答案】
$x^2-2x+1$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查运算规则的掌握，解题时注意符号的准确性，也可通过观察式子结构选择简便方法提升运算速度和正确率。
【难度系数】
0.9