23. (11分)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE \perp AB$于点$E$，点$F$在$AC$上，$BD = DF$. 求证：
(1)$CF = EB$；
(2)$AB = AF + 2EB$.

(1)
$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$DC\perp AC$，
$\therefore DE = DC$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because$在$Rt\triangle DCF$和$Rt\triangle DEB$中，
$\begin{cases}BD = DF\\DC = DE\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle DCF\cong Rt\triangle DEB(HL)$。
$\therefore CF = EB$。
(2)
$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$DC\perp AC$，
$\therefore DE = DC$，
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，
$\begin{cases}\angle CAD=\angle EAD\\\angle ACD = \angle AED\\AD = AD\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED(AAS)$。
$\therefore AC = AE$。
$\therefore AB=AE + BE=AC + EB=AF + CF+EB=AF + 2EB$。

24. (12分)已知$AC = BC$，点$D$是$BC$上的一点，$\angle ADE = \angle C$.
(1)如图1，若$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle DBE = 135^{\circ}$，求证：
①$\angle EDB = \angle A$；
②$DA = DE$.
(2)如图2，当$\angle DBE$与$\angle C$满足什么数量关系时，总有$DA = DE$成立？

(1)①∵AC=BC，∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠ABC=45°。
∵∠ADE=∠C=90°，∴∠ADC+∠EDB=90°（平角定义）。
在Rt△ACD中，∠C=90°，∴∠ADC+∠A=90°（直角三角形两锐角互余）。
∴∠EDB=∠A。
②在AC上截取CF=CD，连接DF。
∵∠C=90°，CF=CD，∴△CDF是等腰直角三角形，∠CFD=45°，DF=CD，∠AFD=180°-∠CFD=135°。
∵∠DBE=135°，∴∠AFD=∠DBE。
∵AC=BC，CF=CD，∴AC-CF=BC-CD，即AF=BD。
又∵∠EDB=∠A（已证），∴△AFD≌△DBE（AAS）。
∴DA=DE。
(2)∠DBE=90°+∠C/2（或2∠DBE-∠C=180°）。

(1)①
∵$AC=BC$，$\angle C=90^{\circ}$，$\therefore\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle A=\angle ABC=45^{\circ}$。$\because\angle ADE=\angle C=90^{\circ}$，$\angle ADE+\angle EDB+\angle ADC=180^{\circ}$，$\angle C+\angle A+\angle ADC=180^{\circ}$，$\therefore\angle EDB=\angle A$。
②过点$E$作$EF\perp BC$交$CB$的延长线于点$F$，则$\angle EFD=90^{\circ}=\angle C$。$\because\angle DBE=135^{\circ}$，$\angle ABC=45^{\circ}$，$\therefore\angle EBF=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$，$\triangle EBF$是等腰直角三角形，$EF=BF$。由①知$\angle EDB=\angle A$，又$\angle C=\angle EFD=90^{\circ}$，$\therefore\triangle ACD\sim\triangle DFE$，$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{CD}{EF}$。设$AC=BC=a$，$CD=x$，则$BD=a-x$，$DF=BD+BF=a-x+EF$。$\because EF=BF$，设$EF=BF=y$，则$DF=a-x+y$，$\dfrac{a}{a-x+y}=\dfrac{x}{y}$，$ay=x(a-x+y)$，$ay=ax-x^{2}+xy$，$ay-xy=ax-x^{2}$，$y(a-x)=x(a-x)$。$\because a-x=BD＞0$，$\therefore y=x$，即$EF=CD$。$\therefore\triangle ACD\cong\triangle DFE$，$DA=DE$。
(2)$\angle DBE=180^{\circ}-\dfrac{1}{2}\angle C$。