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23. 利用浮力知识，科技小组的同学设计了一种方法测出了小石块的密度.
步骤一：如图甲所示，将长方体物块放入柱形盛水容器中，物块漂浮，测出物块浸入水中的长度.
步骤二：如图乙所示，将小石块放在物块上，测得物块浸入水中的长度与图乙相比增加了 $h_1$，此时物块受到的浮力与图乙相比
步骤三：如图丙所示，将小石块用细线(细线体积和质量均忽略不计)系在物块下，测得物块浸入水中的长度与图乙相比增加了 $h_2$，图丙中水对容器底部的压强
根据以上信息可得，小石块密度的表达式为 $\rho_{石} =$
步骤一：如图甲所示，将长方体物块放入柱形盛水容器中，物块漂浮，测出物块浸入水中的长度.
步骤二：如图乙所示，将小石块放在物块上，测得物块浸入水中的长度与图乙相比增加了 $h_1$，此时物块受到的浮力与图乙相比
变大
(选填“变大”“变小”或“等于”).步骤三：如图丙所示，将小石块用细线(细线体积和质量均忽略不计)系在物块下，测得物块浸入水中的长度与图乙相比增加了 $h_2$，图丙中水对容器底部的压强
等于
(选填“大于”“等于”或“小于”)图乙中水对容器底部的压强.根据以上信息可得，小石块密度的表达式为 $\rho_{石} =$
$\frac{h_{1}\rho_{水}}{h_{1}-h_{2}}$
(用 $\rho_{水}$、$h_1$、$h_2$ 表示).答案
变大
等于
$\frac{h_{1}\rho_{水}}{h_{1}-h_{2}}$
等于
$\frac{h_{1}\rho_{水}}{h_{1}-h_{2}}$
解析
【分析】
1. 步骤二：根据物体漂浮条件，漂浮时浮力等于总重力。图甲中物块单独漂浮，浮力等于物块自身重力；图乙中物块上放置小石块后，总重力增大，因此整体受到的浮力也增大，故浮力与图甲相比变大。
2. 步骤三：图乙和图丙中，物块与小石块的总重力保持不变，整体均满足漂浮条件（图丙中物块与石块整体浮力等于总重力）。根据阿基米德原理，浮力相等则排开水的总体积相等，容器为柱形容器，因此水面高度相同。结合液体压强公式$p=\rho gh$，水的密度和深度均相同，可知水对容器底部的压强相等。
3. 密度推导：设物块底面积为$S$，利用步骤二中浮力的变化量等于石块重力求出石块质量；通过步骤二中与步骤三中排开水的体积关系求出石块体积，最后根据密度公式推导石块密度表达式。
【解析】
1. 步骤二：
图甲中物块漂浮，$ F_{浮甲}=G_{物} $；图乙中物块与石块整体漂浮，$ F_{浮乙}=G_{物}+G_{石} $。
因为$ G_{物}+G_{石}＞G_{物} $，所以$ F_{浮乙}＞F_{浮甲} $，即浮力变大。
2. 步骤三：
图乙与图丙中，物块和石块的总重力不变，整体所受浮力$ F_{浮}=G_{物}+G_{石} $。
根据阿基米德原理$ F_{浮}=\rho_{水}gV_{排} $，可知两次排开水的总体积$ V_{排} $相等，柱形容器中水面高度$ h $相同。
由液体压强公式$ p=\rho_{水}gh $，可知水对容器底部的压强等于。
3. 石块密度推导：
设物块的底面积为$ S $。
① 由步骤二：石块的重力等于图乙比图甲增加的浮力，即
$ G_{石}=\Delta F_{浮1}=\rho_{水}g\Delta V_{排1}=\rho_{水}gS h_{1} $
则石块的质量$ m_{石}=\frac{G_{石}}{g}=\rho_{水}S h_{1} $。
② 由步骤三：图乙和图丙中整体浮力相等，排开水的总体积相等，图乙排开水的体积$ V_{排乙}=V_{排甲}+S h_{1} $，图丙排开水的体积$ V_{排丙}=V_{排甲}+S h_{2}+V_{石} $，因此：
$ V_{排甲}+S h_{1}=V_{排甲}+S h_{2}+V_{石} $
化简得石块体积$ V_{石}=S(h_{1}-h_{2}) $。
③ 根据密度公式$ \rho=\frac{m}{V} $，石块的密度：
$ \rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{\rho_{水}S h_{1}}{S(h_{1}-h_{2})}=\frac{h_{1}\rho_{水}}{h_{1}-h_{2}} $
【答案】
变大；等于；$\boldsymbol{\frac{h_{1}\rho_{水}}{h_{1}-h_{2}}}$
【知识点】
阿基米德原理；物体漂浮条件；密度公式
【点评】
本题是浮力知识的综合应用，需要结合漂浮条件和阿基米德原理，分析不同状态下的受力与排液体积的关系，进而推导石块密度，对逻辑分析和公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 步骤二：根据物体漂浮条件，漂浮时浮力等于总重力。图甲中物块单独漂浮，浮力等于物块自身重力；图乙中物块上放置小石块后，总重力增大，因此整体受到的浮力也增大，故浮力与图甲相比变大。
2. 步骤三：图乙和图丙中，物块与小石块的总重力保持不变，整体均满足漂浮条件（图丙中物块与石块整体浮力等于总重力）。根据阿基米德原理，浮力相等则排开水的总体积相等，容器为柱形容器，因此水面高度相同。结合液体压强公式$p=\rho gh$，水的密度和深度均相同，可知水对容器底部的压强相等。
3. 密度推导：设物块底面积为$S$，利用步骤二中浮力的变化量等于石块重力求出石块质量；通过步骤二中与步骤三中排开水的体积关系求出石块体积，最后根据密度公式推导石块密度表达式。
【解析】
1. 步骤二：
图甲中物块漂浮，$ F_{浮甲}=G_{物} $；图乙中物块与石块整体漂浮，$ F_{浮乙}=G_{物}+G_{石} $。
因为$ G_{物}+G_{石}＞G_{物} $，所以$ F_{浮乙}＞F_{浮甲} $，即浮力变大。
2. 步骤三：
图乙与图丙中，物块和石块的总重力不变，整体所受浮力$ F_{浮}=G_{物}+G_{石} $。
根据阿基米德原理$ F_{浮}=\rho_{水}gV_{排} $，可知两次排开水的总体积$ V_{排} $相等，柱形容器中水面高度$ h $相同。
由液体压强公式$ p=\rho_{水}gh $，可知水对容器底部的压强等于。
3. 石块密度推导：
设物块的底面积为$ S $。
① 由步骤二：石块的重力等于图乙比图甲增加的浮力，即
$ G_{石}=\Delta F_{浮1}=\rho_{水}g\Delta V_{排1}=\rho_{水}gS h_{1} $
则石块的质量$ m_{石}=\frac{G_{石}}{g}=\rho_{水}S h_{1} $。
② 由步骤三：图乙和图丙中整体浮力相等，排开水的总体积相等，图乙排开水的体积$ V_{排乙}=V_{排甲}+S h_{1} $，图丙排开水的体积$ V_{排丙}=V_{排甲}+S h_{2}+V_{石} $，因此：
$ V_{排甲}+S h_{1}=V_{排甲}+S h_{2}+V_{石} $
化简得石块体积$ V_{石}=S(h_{1}-h_{2}) $。
③ 根据密度公式$ \rho=\frac{m}{V} $，石块的密度：
$ \rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{\rho_{水}S h_{1}}{S(h_{1}-h_{2})}=\frac{h_{1}\rho_{水}}{h_{1}-h_{2}} $
【答案】
变大；等于；$\boldsymbol{\frac{h_{1}\rho_{水}}{h_{1}-h_{2}}}$
【知识点】
阿基米德原理；物体漂浮条件；密度公式
【点评】
本题是浮力知识的综合应用，需要结合漂浮条件和阿基米德原理，分析不同状态下的受力与排液体积的关系，进而推导石块密度，对逻辑分析和公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
24. 某课外科技小组的同学们为测量暴雨过后各河段浑浊河水的密度，设计了如图所示的一套装置：A 是弹簧测力计，B 是边长为 $0.1\ \mathrm{m}$ 的均匀正方体浮子，C 是薄壁圆柱形容器，其底面积为 $3 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2$，D 是一固定在容器底部的定滑轮. 弹簧测力计和正方体浮子之间用一轻质无伸缩的细线通过滑轮相连接.（$g$ 取 $10\ \mathrm{N/kg}$，不考虑滑轮的摩擦）
(1) 当容器中盛有适量清水，并使浮子 B 浸没在水中时，弹簧测力计 A 的示数为 $2\ \mathrm{N}$，求浮子 B 的重力. ($\rho_{水} = 1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(2) 按照图中的方法，将容器中的清水换为适量的浑水，当浮子 B 浸没在浑水中时，弹簧测力计 A 的示数为 $2.5\ \mathrm{N}$，求该浑水的密度.
(3) 在测另一种浑水密度的过程中，照图中方法，先拉动弹簧测力计 A 将浮子 B 浸没在浑水中静止；然后缓慢放开弹簧测力计 A，测得弹簧测力计 A 的示数 $F$ 与浮子 B 上升高度 $d$ 的关系图像如图乙所示，求此浑水的密度.
(1) 当容器中盛有适量清水，并使浮子 B 浸没在水中时，弹簧测力计 A 的示数为 $2\ \mathrm{N}$，求浮子 B 的重力. ($\rho_{水} = 1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(2) 按照图中的方法，将容器中的清水换为适量的浑水，当浮子 B 浸没在浑水中时，弹簧测力计 A 的示数为 $2.5\ \mathrm{N}$，求该浑水的密度.
(3) 在测另一种浑水密度的过程中，照图中方法，先拉动弹簧测力计 A 将浮子 B 浸没在浑水中静止；然后缓慢放开弹簧测力计 A，测得弹簧测力计 A 的示数 $F$ 与浮子 B 上升高度 $d$ 的关系图像如图乙所示，求此浑水的密度.
答案
(1) 解：浮子B浸没时受到的浮力$F_{浮B}=\rho_{水}gV_{B}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×(0.1\ \mathrm{m})^3=10\ \mathrm{N}$
对浮子B受力分析：$F_{浮B}=G_{B}+F_{拉}$，则$G_{B}=F_{浮B}-F_{拉}=10\ \mathrm{N}-2\ \mathrm{N}=8\ \mathrm{N}$
(2) 解：浮子B浸没在浑水中时，$F_{浮B}'=\rho_{浑水}gV_{B}$，且$F_{浮B}'=G_{B}+F_{拉}'$
$ \rho_{浑水}=\frac{G_{B}+F_{拉}'}{gV_{B}}=\frac{8\ \mathrm{N}+2.5\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×(0.1\ \mathrm{m})^3}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 解：当弹簧测力计示数为0时，浮子漂浮，$F_{浮B}''=G_{B}$
$ V_{排}=\frac{G_{B}}{\rho_{浑水}'g}$，又$V_{B}-V_{排}=S_{B}d$
$ \rho_{浑水}'=\frac{G_{B}}{g(V_{B}-S_{B}d)}=\frac{a}{3.2}×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
对浮子B受力分析：$F_{浮B}=G_{B}+F_{拉}$，则$G_{B}=F_{浮B}-F_{拉}=10\ \mathrm{N}-2\ \mathrm{N}=8\ \mathrm{N}$
(2) 解：浮子B浸没在浑水中时，$F_{浮B}'=\rho_{浑水}gV_{B}$，且$F_{浮B}'=G_{B}+F_{拉}'$
$ \rho_{浑水}=\frac{G_{B}+F_{拉}'}{gV_{B}}=\frac{8\ \mathrm{N}+2.5\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×(0.1\ \mathrm{m})^3}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) 解：当弹簧测力计示数为0时，浮子漂浮，$F_{浮B}''=G_{B}$
$ V_{排}=\frac{G_{B}}{\rho_{浑水}'g}$，又$V_{B}-V_{排}=S_{B}d$
$ \rho_{浑水}'=\frac{G_{B}}{g(V_{B}-S_{B}d)}=\frac{a}{3.2}×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
解析
【分析】
1. 第(1)问：浮子浸没在水中时，受浮力、重力和拉力，三者平衡，先利用阿基米德原理计算浮力，再通过受力平衡求出浮子重力。
2. 第(2)问：浮子浸没在浑水中时，受力情况与水中相同，结合阿基米德原理公式变形，代入已知量即可求出浑水密度。
3. 第(3)问：结合图像，当拉力为0时浮子漂浮，浮力等于重力；初始时浮子浸没，拉力为$a$，受力平衡。通过联立两个状态的受力方程，结合排开体积与浮子上升高度的关系，推导得出浑水密度的表达式。
【解析】
(1) 计算浮子B的体积：
$V_B=(0.1\ \mathrm{m})^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
浮子浸没在水中时，根据阿基米德原理，受到的浮力：
$F_{浮B}=\rho_{水}gV_B=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=10\ \mathrm{N}$
对浮子受力分析，由受力平衡可知：$F_{浮B}=G_B+F_{拉}$
则浮子的重力：
$G_B=F_{浮B}-F_{拉}=10\ \mathrm{N}-2\ \mathrm{N}=8\ \mathrm{N}$
(2) 浮子浸没在浑水中时，受力平衡：$F_{浮B}'=G_B+F_{拉}'$
根据阿基米德原理，$F_{浮B}'=\rho_{浑水}gV_B$，联立得：
$\rho_{浑水}gV_B=G_B+F_{拉}'$
变形求解浑水密度：
$\rho_{浑水}=\frac{G_B+F_{拉}'}{gV_B}=\frac{8\ \mathrm{N}+2.5\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) ① 当弹簧测力计示数为0时，浮子漂浮，由浮沉条件得：$F_{浮B}''=G_B$
根据阿基米德原理：$G_B=\rho_{浑水}'gV_{排}$，即$V_{排}=\frac{G_B}{\rho_{浑水}'g}$
② 初始时弹簧测力计示数为$a$，浮子浸没，受力平衡：$\rho_{浑水}'gV_B=G_B+a$
③ 由题意，浮子上升高度$d=0.034\ \mathrm{m}$，浮子底面积$S_B=(0.1\ \mathrm{m})^2=1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2$，排开体积减少量：$V_B-V_{排}=S_B d$
将$V_{排}=V_B-S_B d$代入$G_B=\rho_{浑水}'gV_{排}$得：$G_B=\rho_{浑水}'g(V_B-S_B d)$
将其代入$\rho_{浑水}'gV_B=G_B+a$中：
$\rho_{浑水}'gV_B=\rho_{浑水}'g(V_B-S_B d)+a$
展开并整理：
$\rho_{浑水}'gS_B d=a$
$\rho_{浑水}'=\frac{a}{gS_B d}=\frac{a}{10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2×0.034\ \mathrm{m}}=\frac{a}{3.2}×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}$
(3) $\boldsymbol{\frac{a}{3.2}×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}$
【知识点】
阿基米德原理、受力平衡分析、物体浮沉条件
【点评】
本题是浮力综合计算题，需结合受力平衡、阿基米德原理和浮沉条件分析不同状态下浮子的受力情况，第三问需结合图像信息，联立方程推导密度表达式，对学生的逻辑分析和公式推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：浮子浸没在水中时，受浮力、重力和拉力，三者平衡，先利用阿基米德原理计算浮力，再通过受力平衡求出浮子重力。
2. 第(2)问：浮子浸没在浑水中时，受力情况与水中相同，结合阿基米德原理公式变形，代入已知量即可求出浑水密度。
3. 第(3)问：结合图像，当拉力为0时浮子漂浮，浮力等于重力；初始时浮子浸没，拉力为$a$，受力平衡。通过联立两个状态的受力方程，结合排开体积与浮子上升高度的关系，推导得出浑水密度的表达式。
【解析】
(1) 计算浮子B的体积：
$V_B=(0.1\ \mathrm{m})^3=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
浮子浸没在水中时，根据阿基米德原理，受到的浮力：
$F_{浮B}=\rho_{水}gV_B=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=10\ \mathrm{N}$
对浮子受力分析，由受力平衡可知：$F_{浮B}=G_B+F_{拉}$
则浮子的重力：
$G_B=F_{浮B}-F_{拉}=10\ \mathrm{N}-2\ \mathrm{N}=8\ \mathrm{N}$
(2) 浮子浸没在浑水中时，受力平衡：$F_{浮B}'=G_B+F_{拉}'$
根据阿基米德原理，$F_{浮B}'=\rho_{浑水}gV_B$，联立得：
$\rho_{浑水}gV_B=G_B+F_{拉}'$
变形求解浑水密度：
$\rho_{浑水}=\frac{G_B+F_{拉}'}{gV_B}=\frac{8\ \mathrm{N}+2.5\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) ① 当弹簧测力计示数为0时，浮子漂浮，由浮沉条件得：$F_{浮B}''=G_B$
根据阿基米德原理：$G_B=\rho_{浑水}'gV_{排}$，即$V_{排}=\frac{G_B}{\rho_{浑水}'g}$
② 初始时弹簧测力计示数为$a$，浮子浸没，受力平衡：$\rho_{浑水}'gV_B=G_B+a$
③ 由题意，浮子上升高度$d=0.034\ \mathrm{m}$，浮子底面积$S_B=(0.1\ \mathrm{m})^2=1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2$，排开体积减少量：$V_B-V_{排}=S_B d$
将$V_{排}=V_B-S_B d$代入$G_B=\rho_{浑水}'gV_{排}$得：$G_B=\rho_{浑水}'g(V_B-S_B d)$
将其代入$\rho_{浑水}'gV_B=G_B+a$中：
$\rho_{浑水}'gV_B=\rho_{浑水}'g(V_B-S_B d)+a$
展开并整理：
$\rho_{浑水}'gS_B d=a$
$\rho_{浑水}'=\frac{a}{gS_B d}=\frac{a}{10\ \mathrm{N/kg}×1×10^{-2}\ \mathrm{m}^2×0.034\ \mathrm{m}}=\frac{a}{3.2}×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}$
(3) $\boldsymbol{\frac{a}{3.2}×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}$
【知识点】
阿基米德原理、受力平衡分析、物体浮沉条件
【点评】
本题是浮力综合计算题，需结合受力平衡、阿基米德原理和浮沉条件分析不同状态下浮子的受力情况，第三问需结合图像信息，联立方程推导密度表达式，对学生的逻辑分析和公式推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
