14.如图所示，网格中小正方形的边长为 1，点 A，B，C 在格点上，则在$\triangle ABC$中，AB 边上的高是。

由题可知：
在网格中，小正方形边长为1，点$A$，$B$，$C$在格点上。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
根据海伦公式计算三角形面积：
$s=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}+4\sqrt{2}}{2}$，
$S_{\triangle ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，
或利用坐标法计算：
设点$B$为坐标原点$(0,0)$，点$A$为$(4,4)$，点$C$为$(3,1)$。
三角形面积公式：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$，
代入坐标：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|0(4-1)+4(1-0)+3(0-4)|=\frac{1}{2}|0+4-12|=4$，
设$AB$边上的高为$h$，
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × AB × h$，
$4=\frac{1}{2} × 4\sqrt{2} × h$，
$h=\frac{4 × 2}{4\sqrt{2}}=\frac{8}{4\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
故答案为：$\sqrt{2}$。

15.如图，在等边$\triangle ABC$中，$AB = 8$，D 是$\triangle ABC$外角角平分线上一点，CD 的垂直平分线 FE 交 CD 于点 E，交线段 AC 于点 F，且$CF = 3AF$，连接 AD，则$AD =$。

2√13

解：
1. 确定AF和CF的长度：
等边△ABC中，AC=AB=8。
∵CF=3AF，且AF+CF=AC=8，
∴AF+3AF=8，解得AF=2，CF=6。
2. 利用垂直平分线性质：
FE是CD的垂直平分线，∴FD=FC=6（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
3. 建立坐标系求解D点坐标：
以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系。
∴A(0,0)，C(8,0)，F(2,0)。设D(x,y)，
∵FD=6，∴由距离公式得：(x-2)²+y²=36 ①。
4. 外角平分线方程：
△ABC为等边三角形，∠ACB=60°，外角∠ACG=120°，其角平分线分∠ACG为两个60°角。
外角平分线方程：y=±√3(8-x)（推导过程略），即y²=3(8-x)² ②。
5. 联立方程求解D点坐标：
将②代入①：(x-2)²+3(8-x)²=36，
化简得x²-13x+40=0，解得x=5（x=8舍去，与C重合）。
代入y²=3(8-x)²，得y=±3√3，∴D(5,3√3)或(5,-3√3)。
6. 计算AD长度：
AD=√[(5-0)²+(±3√3-0)²]=√(25+27)=√52=2√13。

16.(本题满分 8 分)
已知$2a + 1$的平方根是$\pm 3$，$5a + 2b - 2$的算术平方根为 4。
(1)求$a$与$b$的值;
(2)求$3a - 4b$的平方根。

(1)
因为$2a + 1$的平方根是$\pm 3$，所以$2a + 1 = 9$，
解得$a = 4$。
因为$5a + 2b - 2$的算术平方根为$4$，所以$5a + 2b - 2 = 16$，
把$a = 4$代入$5a + 2b - 2 = 16$得：
$20 + 2b - 2 = 16$，
$2b = -2$，
解得$b = -1$。
(2)
当$a = 4$，$b = -1$时，$3a - 4b = 3×4 - 4×(-1)=12 + 4 = 16$。
所以$3a - 4b$的平方根是$\pm 4$。