(2025 乐山中考)两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现:将一条线段 AB 分割成长、短两条线段 AC,CB,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比,即$\frac {CB}{AC}=\frac {AC}{AB}$,则这种分割称为黄金分割,这个比值称为黄金比,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点.

【问题初探】
如图 1,已知点 C 为线段 AB 的黄金分割点($AC＞BC$),求黄金比.
解:设$AB=1,AC=x$,则$CB=1-x$.
$\because \frac {CB}{AC}=\frac {AC}{AB},$
$\therefore$……
请补全以上解题过程;
【问题再探】
如图 2,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },BC=1,AC=2$,请作出 AC 的黄金分割点(要求:仅用圆规作图,不写作法,保留作图痕迹);
【知识迁移】
如图 3,点 C 为线段 AB 的黄金分割点($AC＞BC$),分别以 AC,BC 为边在线段 AB 同侧作正方形 ACDE 和矩形 CBFD,连接 BD,BE. 求证:$△EAB∽ △BCD;$
【延伸拓展】
如图 4,在正五边形 ABCDE 中,对角线 AD 与 BE 交于点 M. 求证:点 M 是 AD 的黄金分割点.

黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；作图见解析；证明见解析；证明见解析。

【问题初探】
∵$\frac{CB}{AC}=\frac{AC}{AB}$，$AB=1$，$AC=x$，$CB=1-x$，
∴$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$，即$x^2+x-1=0$，
解得$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（负值舍去），
∴黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【问题再探】
作图痕迹：以$B$为圆心，$BC$为半径画弧交$AB$于$F$；以$A$为圆心，$AF$为半径画弧交$AC$于$D$，点$D$即为所求。
【知识迁移】
设$AB=1$，$AC=x$（黄金比$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），则$BC=1-x$，
∵四边形$ACDE$为正方形，∴$AE=AC=x$，$∠ EAB=90°$，
∵四边形$CBFD$为矩形，∴$CD=BC=1-x$，$∠ BCD=90°$，
由黄金分割定义得$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$，∴$\frac{AE}{BC}=\frac{x}{1-x}=\frac{1}{x}=\frac{AB}{CD}$，
又$∠ EAB=∠ BCD=90°$，∴$△ EAB∽△ BCD$。
【延伸拓展】
在正五边形$ABCDE$中，$∠ BAE=108°$，$AB=AE$，∴$∠ ABE=36°$，
同理$∠ ADB=36°$，又$∠ BAM=∠ DAB$，∴$△ ABM∽△ ADB$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AM}{AB}$，即$AB^2=AD· AM$，
设$AD=d$，$AM=x$，则$MD=d-x$，由正五边形性质知$AB=MD$，
∴$MD^2=AD· AM$，即$\frac{AM}{MD}=\frac{MD}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴点$M$是$AD$的黄金分割点。