教材母题▶(九上$\mathrm{P}_{90}\mathrm{T}_{14}$改编)如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AB=AC$，$P$是$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$的中点，连接$PA$，$PB$，$PC$，连接$AO$并延长交$BC$于点$M$，连接$BO$，已知$\sin∠ BPC=\dfrac{24}{25}$.
(1)求证:$∠ BPC=∠ BOM$；
(2)求$\dfrac{BC}{AB}$的值；
(3)求$\tan∠ PAB$的值.

(1) 见解析；(2) 6/5；(3) 1/2

(1) ∵AB=AC，AO延长交BC于M，∴AM⊥BC（等腰三角形三线合一），∠BOM=∠COM=1/2∠BOC。∵∠BPC是弧BC所对圆周角，∠BOC是弧BC所对圆心角，∴∠BPC=1/2∠BOC，故∠BPC=∠BOM。
(2) 设⊙O半径为R，在Rt△BOM中，sin∠BOM=sin∠BPC=24/25=BM/R，∴BM=24R/25，OM=√(R²-(24R/25)²)=7R/25。AM=AO+OM=R+7R/25=32R/25。在Rt△ABM中，AB=√(AM²+BM²)=√((32R/25)²+(24R/25)²)=8R/5，BC=2BM=48R/25，∴BC/AB=(48R/25)/(8R/5)=6/5。
(3) 连接OP，P是弧AB中点，∴OP垂直平分AB，设AB中点为N，AN=AB/2=4R/5。在Rt△AON中，ON=√(R²-(4R/5)²)=3R/5，PN=OP-ON=R-3R/5=2R/5，∴tan∠PAB=PN/AN=(2R/5)/(4R/5)=1/2。

【教材变式1】 如图，在$\odot O$中，$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}=\overset{\LARGE{\frown}}{AC}$，$D$为$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$上任意一点.若$\cos∠ BDC=\dfrac{3}{4}$，求$\tan∠ ADC$的值.

√7

连接AB、AC，过A作AE⊥BC于E。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB。
∵∠BDC与∠BAC均为$\overset{\frown}{BC}$所对圆周角，∴∠BAC=∠BDC，设∠BAC=∠BDC=φ，已知cosφ=$\frac{3}{4}$。
在等腰△ABC中，AE⊥BC，∴∠BAE=$\frac{φ}{2}$，BE=EC。设AB=AC=1，由余弦定理：BC²=AB²+AC²-2AB·AC·cosφ=2-2×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$，∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则BE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$。
在Rt△ABE中，sin$\frac{φ}{2}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，cos$\frac{φ}{2}$=$\sqrt{1-sin²\frac{φ}{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，tan$\frac{φ}{2}$=$\frac{sin\frac{φ}{2}}{cos\frac{φ}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$。
∵∠ADC与∠ABC均为$\overset{\frown}{AC}$所对圆周角，∴∠ADC=∠ABC。在△ABC中，∠ABC=$\frac{180°-φ}{2}$=90°-$\frac{φ}{2}$，∴tan∠ADC=tan(90°-$\frac{φ}{2}$)=cot$\frac{φ}{2}$=$\sqrt{7}$。

【教材变式2】 如图，已知$△ ABC$内接于半径为$5$的$\odot O$，$\sin∠ BAC=\dfrac{4}{5}$.
(1)求$BC$的长；
(2)求$△ ABC$的面积的最大值.

(1)8；(2)32

(1)连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，由垂径定理得BD=DC=BC/2。∠BAC为圆周角，∠BOC=2∠BAC，设∠BAC=α，则∠BOD=α。在Rt△OBD中，sinα=BD/OB，已知sinα=4/5，OB=5，∴BD=5×4/5=4，∴BC=2BD=8。
(2)由(1)知OD=√(OB²-BD²)=√(25-16)=3。△ABC面积=(1/2)×BC×h（h为A到BC的距离），h最大时面积最大，此时A在BC垂直平分线上且与O在BC异侧，h=OD+OA=3+5=8，∴最大面积=(1/2)×8×8=32。