1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD ⊥ AB$于点$D$。
(1) 若$AD = 2$，$BD = 1$，则$AC$的长为；
(2) 若$AC = 20$，$BD = 9$，求$CD$的长。

(1)√6；(2)12

(1)∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC/AB=AD/AC，即AC²=AD·AB。∵AD=2，BD=1，∴AB=AD+BD=3，∴AC²=2×3=6，∴AC=√6。
(2)设AD=x，则AB=AD+BD=x+9。∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△ABC，∴AC²=AD·AB，即20²=x(x+9)，整理得x²+9x-400=0，解得x=16（负值舍去），∴AD=16。∵△ACD∽△CBD，∴CD²=AD·BD=16×9=144，∴CD=12。

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$∠ CAB$的平分线分别交$BC$，$CD$于$E$，$F$两点。
(1) 求证：$CE = CF$；
(2) 求证：$EF · EA = 2CE^{2}$。

(1) 见解析；(2) 见解析

(1) ∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=90°。AE平分∠CAB，设∠CAE=∠BAE=α。在Rt△ACE中，∠AEC=90°-α；在Rt△ADF中，∠AFD=90°-α。∵∠CFE=∠AFD，∴∠CFE=90°-α=∠AEC，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF。
(2) 过C作CG⊥EF于G。∵CE=CF，CG⊥EF，∴EG=GF=EF/2。在△CEG和△AEC中，∠CEG=∠AEC（公共角），∠ECG=90°-∠CEG=α=∠EAC，∴△CEG∽△AEC。∴CE/EA=EG/CE，即CE²=EG·EA。∵EG=EF/2，∴CE²=(EF/2)·EA，故EF·EA=2CE²。

3. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB // CD$，$∠ ADC = 90^{\circ}$，$E$为$BC$上一点，$CE = 3BE$，且$AE ⊥ DE$，若$AD = 6$，求$AE$的长。

3

过点E作EF⊥AD于F，设AF=m，FD=n。
∵AB//CD，∠ADC=90°，∴EF⊥CD，四边形EFDG为矩形（G为EF与CD交点）。
∵CE=3BE，∴E到AB距离与到CD距离比为1:3，即AF:FD=1:3。
∵AD=6，∴m=AF=6×(1/4)=3/2，n=FD=6×(3/4)=9/2。
∵AE⊥DE，∠AED=90°，EF⊥AD，∴△AFE∽△EFD（母子型相似）。
∴AF/EF=EF/FD，即EF²=AF·FD=(3/2)(9/2)=27/4，∴EF=3√3/2。
在Rt△AFE中，AE²=AF²+EF²=(3/2)²+(3√3/2)²=9/4+27/4=9，∴AE=3。