1. 如图,在$□ ABCD$中,$AB = BC = 6$,$∠ ABC = 60^{\circ}$,过点$D$作$DE ⊥ BC$,交$BC$的延长线于点$E$,连接$AE$分别交$BD$,$CD$于点$F$,$G$.求$FG$的长.

4√7/5

∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC=6，∴ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA=6，∠ABC=60°，∠BCD=120°。
过D作DE⊥BC交BC延长线于E，∠DCE=60°（邻补角），在Rt△DEC中，CE=CD·cos60°=3，DE=CD·sin60°=3√3，∴E(9,0)（以B为原点，BC为x轴建立坐标系）。
坐标：B(0,0)，C(6,0)，A(3,3√3)，D(9,3√3)，E(9,0)。
直线AE：过A(3,3√3)、E(9,0)，解析式为y=-√3/2 x + 9√3/2。
直线CD：过C(6,0)、D(9,3√3)，斜率√3，解析式为y=√3 x - 6√3。
联立AE与CD得G点：√3 x - 6√3 = -√3/2 x + 9√3/2，解得x=7，y=√3，∴G(7,√3)。
直线BD：过B(0,0)、D(9,3√3)，斜率√3/3，解析式为y=√3/3 x。
联立AE与BD得F点：√3/3 x = -√3/2 x + 9√3/2，解得x=27/5，y=9√3/5，∴F(27/5,9√3/5)。
FG距离：√[(7-27/5)² + (√3 - 9√3/5)²] = √[(8/5)² + (-4√3/5)²] = 4√7/5。

2. 如图,在$□ ABCD$中,$AM ⊥ BC$,$AN ⊥ CD$,垂足分别为$M$,$N$.
(1) 求证:$△ AMB ∽ △ AND$;
(2) 求证:$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{AC}$.

(1)证明见解析；(2)证明见解析。

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D。∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB=∠AND=90°。∴△AMB∽△AND（AA）。
(2)由(1)得△AMB∽△AND，∴AM/AN=AB/AD，∠BAM=∠DAN。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=180°-∠B。设∠B=θ，则∠BAM=∠DAN=90°-θ，∠MAN=∠BAD-∠BAM-∠DAN=(180°-θ)-2(90°-θ)=θ=∠B。∵AD=BC，∴AM/AN=AB/BC，即AM/AB=AN/BC。在△MAN和△ABC中，∠MAN=∠B，AM/AB=AN/BC，∴△MAN∽△ABC（SAS）。∴MN/AC=AM/AB，即AM/AB=MN/AC。

3. 如图,在$□ ABCD$中,$E$是$AB$的中点,$F$为$AD$上一点,且$DF = 2AF$,$EF$交$AC$于点$G$.求$\frac{AG}{GC}$的值.

1/4

过点F作FH//AB交AC于H（或延长EF交CB延长线于H），证△AFE∽△BHE（AA），得BH=AF；由DF=2AF，AD=BC，得BC=3AF，故CH=BC+BH=4AF；再证△AFG∽△CHG（AA），得AG/GC=AF/CH=1/4。