17. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，点$D$为$AB$边上一点，连接$CD$，过点$D$作$DE⊥ AB$交$AC$于点$E$.
(1) 求证：$△ ADE∽△ ACB$；
(2) 若$CD = CB$，$\frac{AE}{CE}=3$，求$\frac{AD}{BD}$.

17. (1)略 (2)$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$

(1) 证明：因为 $DE ⊥ AB$，所以 $∠ ADE = 90°$。又因为 $∠ ACB = 90°$，所以 $∠ ADE = ∠ ACB$。由于 $∠ A = ∠ A$，故 $△ ADE ∽ △ ACB$。
(2) 设 $CE = x$，则 $AE = 3x$，$AC = AE + CE = 4x$。由 (1) 知 $△ ADE ∽ △ ACB$，所以 $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，即 $\frac{AD}{4x} = \frac{3x}{AB}$，可得 $AD · AB = 12x^2$。设 $AD = m$，$BD = n$，则 $AB = m + n$，所以 $m(m + n) = 12x^2$ ①。
因为 $CD = CB$，所以 $∠ CDB = ∠ B$。又因为 $∠ ADE = 90°$，$∠ ACB = 90°$，所以 $∠ CDE + ∠ EDB = 90°$，$∠ B + ∠ A = 90°$，而 $∠ EDB = ∠ B$，故 $∠ CDE = ∠ A$。又 $∠ DCE = ∠ ACD$，所以 $△ CDE ∽ △ CAD$，则 $\frac{CE}{CD} = \frac{CD}{AC}$，即 $CD^2 = CE · AC = x · 4x = 4x^2$，所以 $CD = 2x$，$CB = 2x$。
在 $Rt△ ABC$ 中，$AB^2 = AC^2 + CB^2 = (4x)^2 + (2x)^2 = 20x^2$，所以 $AB = 2\sqrt{5}x$。代入①得 $m(m + n) = 12x^2$，且 $m + n = 2\sqrt{5}x$，则 $m = \frac{12x^2}{2\sqrt{5}x} = \frac{6\sqrt{5}x}{5}$，$n = AB - m = 2\sqrt{5}x - \frac{6\sqrt{5}x}{5} = \frac{4\sqrt{5}x}{5}$，所以 $\frac{AD}{BD} = \frac{m}{n} = \frac{3}{2}$。
答案：(1) 证明见上述过程；(2) $\frac{3}{2}$

18. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$为边$CD$上一点，且$AE⊥ BD$.
(1) 求证：$AD^{2}=DE· DC$；
(2)$F$为线段$AE$的延长线上一点，且满足$EF = CF=\frac{1}{2}BD$，求证：$CE = AD$.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ ADC = 90^{\circ}$，$AD = BC$，$∠ BCD = 90^{\circ}$。
∵ $AE⊥ BD$，∴ $∠ AED = 90^{\circ}$。
∵ $∠ ADE + ∠ DAE = 90^{\circ}$，$∠ ADE + ∠ CDB = 90^{\circ}$，
∴ $∠ DAE = ∠ CDB$。
在$△ ADE$和$△ DCB$中，
$\begin{cases} ∠ AED = ∠ BCD = 90^{\circ} \\ ∠ DAE = ∠ CDB \end{cases}$，
∴ $△ ADE ∼ △ DCB$。
∴ $\frac{AD}{DC} = \frac{DE}{CB}$。
∵ $AD = CB$，∴ $\frac{AD}{DC} = \frac{DE}{AD}$，
∴ $AD^{2} = DE · DC$。
(2) 证明：
设$AD = a$，$CD = b$，由(1)得$AD^{2} = DE · DC$，则$DE = \frac{a^{2}}{b}$，$CE = CD - DE = b - \frac{a^{2}}{b} = \frac{b^{2} - a^{2}}{b}$。
以$A$为原点，$AB$、$AD$为轴建系，$A(0,0)$，$B(b,0)$，$C(b,a)$，$D(0,a)$，$E(\frac{a^{2}}{b},a)$。
直线$AE$：$y = \frac{b}{a}x$，设$F(m,\frac{b}{a}m)$，$BD = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$，则$EF = CF = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2}}$。
由$EF^{2} = CF^{2}$得$(m - \frac{a^{2}}{b})^{2} = (m - b)^{2}$，解得$m = \frac{a^{2} + b^{2}}{2b}$。
代入$CF^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4}$，化简得$(a^{2} - b^{2})^{2} = a^{2}b^{2}$，即$b^{2} - a^{2} = ab$（舍负）。
∴ $CE = \frac{ab}{b} = a = AD$。
结论：(1) 得证；(2) 得证。