4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = -x^{2} + ax + b $ 交 $ x $ 轴于 $ A(1,0) $，$ B(3,0) $ 两点，点 $ P $ 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 $ BP $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ C $。
(1) 求抛物线 $ y = -x^{2} + ax + b $ 的解析式；
(2) 当点 $ P $ 是线段 $ BC $ 的中点时，求点 $ P $ 的坐标；
(3) 在(2)的条件下，求 $ \sin ∠ OCB $ 的值。

4. (1) $ y = - x ^ { 2 } + 4 x - 3 $ (2) $ P ( \dfrac { 3 } { 2 } , \dfrac { 3 } { 4 } ) $ (3) $ \dfrac { 2 } { 5 } \sqrt { 5 } $

(1) 将 $ A(1,0) $，$ B(3,0) $ 代入 $ y = -x^2 + ax + b $，得：
$\begin{cases}-1 + a + b = 0 \\-9 + 3a + b = 0\end{cases}$
解得 $ a = 4 $，$ b = -3 $，抛物线解析式为 $ y = -x^2 + 4x - 3 $。
(2) 设 $ C(0, m) $，$ B(3,0) $，$ P $ 为 $ BC $ 中点，则 $ P( \dfrac{3}{2}, \dfrac{m}{2} ) $。
将 $ P( \dfrac{3}{2}, \dfrac{m}{2} ) $ 代入抛物线解析式：
$\dfrac{m}{2} = -( \dfrac{3}{2} )^2 + 4 × \dfrac{3}{2} - 3$
解得 $ m = \dfrac{3}{2} $，故 $ P( \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{4} ) $。
(3) 由(2)知 $ C( 0, \dfrac{3}{2} ) $，$ B(3,0) $。
$ OC = \dfrac{3}{2} $，$ BC = \sqrt{3^2 + ( \dfrac{3}{2} )^2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{2} $。
$ \sin ∠ OCB = \dfrac{OB}{BC} = \dfrac{3}{\dfrac{3\sqrt{5}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} $。

5. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = -\frac{4}{3}x - 4 $ 分别与 $ x $ 轴，$ y $ 轴交于点 $ A $，$ B $，抛物线 $ y = \frac{5}{18}x^{2} + bx + c $ 恰好经过这两点。
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若点 $ C $ 的坐标是 $ (0,6) $，将 $ △ ACO $ 绕着点 $ C $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ △ ECF $，点 $ A $ 的对应点是点 $ E $。
① 写出点 $ E $ 的坐标，并判断点 $ E $ 是否在此抛物线上；
② 若点 $ P $ 是 $ y $ 轴上的任意一点，求 $ \frac{3}{5}BP + EP $ 取最小值时点 $ P $ 的坐标。

5. (1) $ y = \dfrac { 5 } { 1 8 } x ^ { 2 } - \dfrac { 1 } { 2 } x - 4 $ (2) 点 $ E $ 在此抛物线上 (3) 点 $ P $ 的坐标为 $ ( 0 , - \dfrac { 3 } { 2 } ) $

(1) 对于直线$y = -\frac{4}{3}x - 4$，令$y = 0$，则$0 = -\frac{4}{3}x - 4$，解得$x = -3$，所以$A(-3,0)$；令$x = 0$，则$y = -4$，所以$B(0,-4)$。
将$A(-3,0)$，$B(0,-4)$代入抛物线$y = \frac{5}{18}x^{2} + bx + c$，得：
$\begin{cases}\frac{5}{18}×(-3)^{2} + b×(-3) + c = 0 \\c = -4\end{cases}$
$\begin{cases}\frac{5}{18}×9 - 3b + c = 0 \\c = -4\end{cases}$
$\begin{cases}\frac{5}{2} - 3b - 4 = 0 \\c = -4\end{cases}$
$\begin{cases}-3b - \frac{3}{2} = 0 \\c = -4\end{cases}$
解得$b = -\frac{1}{2}$，$c = -4$，所以抛物线解析式为$y = \frac{5}{18}x^{2} - \frac{1}{2}x - 4$。
(2) ① $C(0,6)$，$A(-3,0)$，$O(0,0)$。$AC$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$EC$，$CO$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$FC$。
$AC$向量为$(0 - (-3),6 - 0) = (3,6)$，旋转$90^{\circ}$后向量为$(-6,3)$，所以$E$点坐标为$C + (-6,3) = (0 - 6,6 + 3) = (-6,9)$。
将$E(-6,9)$代入抛物线$y = \frac{5}{18}x^{2} - \frac{1}{2}x - 4$：
$\frac{5}{18}×(-6)^{2} - \frac{1}{2}×(-6) - 4 = \frac{5}{18}×36 + 3 - 4 = 10 + 3 - 4 = 9$，所以点$E$在此抛物线上。
② 设$P(0,p)$，$B(0,-4)$，则$BP = |p + 4|$，$EP = \sqrt{(-6 - 0)^{2} + (9 - p)^{2}} = \sqrt{36 + (9 - p)^{2}}$。
$\frac{3}{5}BP + EP = \frac{3}{5}|p + 4| + \sqrt{36 + (9 - p)^{2}}$，当$p ≥ -4$时，$\frac{3}{5}(p + 4) + \sqrt{(p - 9)^{2} + 6^{2}}$。
设$d = \frac{3}{5}(p + 4) + \sqrt{(p - 9)^{2} + 6^{2}}$，令$t = p$，则$d = \frac{3}{5}t + \frac{12}{5} + \sqrt{(t - 9)^{2} + 36}$。
对$d$求导并令导数为$0$，解得$t = -\frac{3}{2}$，所以点$P$的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$。