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11. ( 7 分 ) 如图 , 在 $\triangle ABC$ 中 , $AD$ 是中线 , 分别过点 $B, C$ 作 $AD$ 及其延长线的垂线 $BE, CF$, 垂足分别为点 $E, F$.
求证 : $BE=CF$.
求证 : $BE=CF$.
答案
证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BED和△CFD中，
∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF（对顶角相等），
BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS）。
∴BE=CF。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BED和△CFD中，
∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF（对顶角相等），
BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS）。
∴BE=CF。
12. ( 7 分 ) 如图 , $EF=BC, DF=AC, DA=EB$.
求证 : $\angle F=\angle C$.
求证 : $\angle F=\angle C$.
答案
证明：
∵ DA = EB，
∴ DA + AE = EB + AE，即 DE = AB。
在△DEF和△ABC中，
$\begin{cases}DE = AB \\DF = AC \\EF = BC\end{cases}$
∴ △DEF ≌ △ABC（SSS）。
∴ ∠F = ∠C。
∵ DA = EB，
∴ DA + AE = EB + AE，即 DE = AB。
在△DEF和△ABC中，
$\begin{cases}DE = AB \\DF = AC \\EF = BC\end{cases}$
∴ △DEF ≌ △ABC（SSS）。
∴ ∠F = ∠C。
