9 (2025 盐城大丰月考)若关于 $ x,y $ 的方程 $ 3x^{m} + my = y + 1 $ 是二元一次方程，则 $ m $ 的值为()

A.$ \pm 1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ - 1 $

9. D

10 (数学文化)(2025 泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程 $ x + 2y = 3 $ 恰有一个正整数解 $ x = 1,y = 1 $.类似地，方程 $ 2x + 3y = 21 $ 的正整数解的个数是()

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

10. C

11 (2025 南京鼓楼月考)若 $ \begin{cases}x = 3, \\ y = - 2\end{cases}$ 是二元一次方程 $ ax + by = - 2 $ 的一个解，则 $ 3a - 2b + 2026 $ 的值为 ______ 。

11. 2024

12 二元一次方程 $ 2x + y = 3 $ 的非负整数解有组。

12. 2

13 今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二.问：物几何？你知道物品最少有多少个吗？

13. 解：设三三数时分为 $ x $ 组，七七数时分为 $ y $ 组，则
$ 3x + 2 = 7y + 2 $，
所以 $ 3x = 7y $，
所以 $ x = \frac{7}{3}y $。
因为 $ x $，$ y $ 为非负整数，且最小，
所以当 $ y = 0 $ 时，$ x = 0 $，
此时 $ 3×0 + 2 = 2 $，$ 2÷5 = 0……2 $，与五五数之余三不符；
当 $ y = 3 $ 时，$ x = 7 $，
此时 $ 3×7 + 2 = 23 $（个），
且 $ 23÷5 = 4……3 $，符合题意，
所以物品最少有 23 个。

14 (新考法)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程均可以变形为 $ ax + by = c $ 的形式(其中 $ a,b,c $ 均为常数，且 $ a ≠ 0,b ≠ 0 $)，规定 $ (a,b,c) $ 为方程 $ ax + by = c $ 的“关联系数”.
(1) 二元一次方程 $ 4x - 3y = 5 $ 的“关联系数”为；
(2) 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程的“关联系数”为 $ (1,2, - 1) $，若 $ \begin{cases} x = m - 15, \\ y = m + n \end{cases} $ 为该方程的一组解，且 $ m,n $ 均为正整数，求 $ m,n $ 的值.

14. 解：（1）$ (4, -3, 5) $
（2）因为关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程的“关联系数”为$ (1, 2, -1) $，所以 $ x + 2y = -1 $。
因为 $ \begin{cases} x = m - 15, \\ y = m + n \end{cases} $ 为该方程的一组解，
所以 $ m - 15 + 2(m + n) = -1 $，所以 $ 3m + 2n = 14 $，
所以 $ n = \frac{14 - 3m}{2} $。
因为 $ m $，$ n $ 都是正整数，所以当 $ m = 2 $ 时，$ n = 4 $；
当 $ m = 4 $ 时，$ n = 1 $，
所以 $ \begin{cases} m = 2, \\ n = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 4, \\ n = 1. \end{cases} $