12. (2025·武汉校级模拟)如图所示的是古代民间的提水设施辘轳，由辘轳头、支架、井绳、水桶等部分构成。某次取水时井绳拉着重 $ 100 \, \mathrm{N} $ 的水缓慢上升了 $ 4 \, \mathrm{m} $ 用了 $ 60 \, \mathrm{s} $ 的时间，水桶受到的重力为 $ 10 \, \mathrm{N} $，在这一过程中，人做的总功为 $ 500 \, \mathrm{J} $。求此次取水的过程中：（$ g $ 取 $ 10 \, \mathrm{N/kg} $）
(1) 人做的有用功为多少？
(2) 辘轳的机械效率多大？
(3) 人的拉力做功的功率是多少？

【解析】：
(1) 有用功是指对水做的功，水的重力$ G_{\mathrm{水}} = 100 \, \mathrm{N} $，上升高度$ h = 4 \, \mathrm{m} $，
则有用功：
$ W_{\mathrm{有}} = G_{\mathrm{水}} h = 100 \, \mathrm{N} × 4 \, \mathrm{m} = 400 \, \mathrm{J}$
(2) 总功已知为$ W_{\mathrm{总}} = 500 \, \mathrm{J} $， 机械效率：$ \eta = \frac{W_{\mathrm{有}}}{W_{\mathrm{总}}} × 100\% = \frac{400 \, \mathrm{J}}{500 \, \mathrm{J}} × 100\% = 80\% $
(3) 人的拉力做功即总功，时间$ t = 60 \, \mathrm{s} $，
功率：
$ P = \frac{W_{\mathrm{总}}}{t} = \frac{500 \, \mathrm{J}}{60 \, \mathrm{s}} = \frac{25}{3} \, \mathrm{W} \approx 8.33 \, \mathrm{W}$
【答案】：$ (1) 400 \, \mathrm{J} $； (2) 80% ；$ (3) \dfrac{25}{3} \, \mathrm{W} （$或约$ 8.33 \, \mathrm{W} ）$

(1) 有用功是克服水的重力所做的功，根据公式 $ W_{\mathrm{有用}} = G_{\mathrm{水}}h $，代入数据得：
$ W_{\mathrm{有用}} = 100\,\mathrm{N} × 4\,\mathrm{m} = 400\,\mathrm{J} $
(2) 机械效率公式为 $ \eta = \frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}} × 100\% $，将已知的有用功和总功代入：
$ \eta = \frac{400\,\mathrm{J}}{500\,\mathrm{J}} × 100\% = 80\% $
(3) 拉力做功的功率根据公式 $ P = \frac{W_{\mathrm{总}}}{t} $，代入数据得：
$ P = \frac{500\,\mathrm{J}}{60\,\mathrm{s}} \approx 8.3\,\mathrm{W} $（或 $ \frac{25}{3}\,\mathrm{W} $）

13. (2025·恩施州模拟)桔槔是《天工开物》中记载的一种原始的汲水工具。如图所示，硬杆用细绳悬挂在树上，杆可绕 $ O $ 点自由旋转且与树之间无作用力，用细绳将重 $ 20 \, \mathrm{N} $、容积为 $ 2.8 × 10^{-2} \, \mathrm{m}^3 $ 的桶悬挂在 $ B $ 端，在 $ A $ 端重 $ 120 \, \mathrm{N} $ 的石头辅助下，人可轻松将一桶水从井中提起。已知 $ OA:OB = 3:2 $，悬挂桶的绳子始终保持在竖直方向上，忽略杆和绳的重力，$ \rho_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 $，$ g $ 取 $ 10 \, \mathrm{N/kg} $。
(1) 桶装满水时，求水的质量。
(2) 空桶在井中漂浮时，求桶排开水的体积。
(3) 一人用桔槔将装满水的桶出水面后（忽略桶外壁沾水），桔槔处于平衡状态时，求人对绳子的拉力。

(1) $ 28 \, \mathrm{kg} $；
(2) $ 2.0 × 10^{-3} \, \mathrm{m}^3 $；
(3) $ 120 \, \mathrm{N} $

(1) 已知桶的容积 $ V = 2.8 × 10^{-2} \, \mathrm{m}^3 $，水的密度 $ \rho_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 $，
由 $ m = \rho V $ 得：
$ m_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 × 2.8 × 10^{-2} \, \mathrm{m}^3 = 28 \, \mathrm{kg} $。
(2) 空桶重 $ G_{\mathrm{桶}} = 20 \, \mathrm{N} $，漂浮时浮力等于重力，即 $ F_{\mathrm{浮}} = G_{\mathrm{桶}} = 20 \, \mathrm{N} $。
由阿基米德原理 $ F_{\mathrm{浮}} = \rho_{\mathrm{水}} g V_{\mathrm{排}} $，得：
$ V_{\mathrm{排}} = \dfrac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}} g} = \dfrac{20 \, \mathrm{N}}{1.0 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 × 10 \, \mathrm{N/kg}} = 2.0 × 10^{-3} \, \mathrm{m}^3 $。
(3) 装满水的桶总重：
$ G_{\mathrm{总}} = G_{\mathrm{桶}} + G_{\mathrm{水}} = 20 \, \mathrm{N} + m_{\mathrm{水}} g = 20 \, \mathrm{N} + 28 \, \mathrm{kg} × 10 \, \mathrm{N/kg} = 300 \, \mathrm{N} $。
设人对绳子的拉力为 $ F $，方向向上（作用在 B 端），则 B 端所受向下的合力为 $ G_{\mathrm{总}} - F $。
桔槔平衡时，以 O 为支点，根据杠杆平衡条件：
动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂，
即 $ G_{\mathrm{石}} · OA = (G_{\mathrm{总}} - F) · OB $。
已知 $ OA : OB = 3 : 2 $，令 $ OA = 3L $，$ OB = 2L $，代入：
$ 120 \, \mathrm{N} × 3L = (300 \, \mathrm{N} - F) × 2L $，
两边约去 $ L $：
$ 360 = 600 - 2F $，
解得 $ 2F = 240 $，故 $ F = 120 \, \mathrm{N} $。