8. 下列命题错误的是 ()

A.矩形的对角线相等且互相平分
B.正方形的四条边相等,四个角相等,且有四条对称轴
C.菱形的对角线互相垂直,且每一条对角线平分一组对角
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形

D

根据特殊四边形的性质逐一判断：
A. 矩形的对角线相等且互相平分，符合矩形性质，命题正确；
B. 正方形四条边相等、四个角均为直角（相等），且有四条对称轴，命题正确；
C. 菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角，符合菱形性质，命题正确；
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，该命题错误。

9. 某学校组织团员举行“伏羲文化旅

游节"宣传活动,从学校骑自行车出
发,先上坡到达甲地后,宣传了8分
钟,然后下坡到乙地又宣传了8分
钟返回,行程情况如图所示.若返回时,上、下坡速度保持不
变,在甲地仍要宣传8分钟,那么他们从乙地返回学校所用
时间是 ()

A.33 分钟
B.46 分钟
C.48 分钟
D.45.2 分钟

D

1. 求上坡速度：学校到甲地路程3.6千米，用时18分钟，$v_{上}=\frac{3.6}{18}=0.2$千米/分钟；
2. 求下坡时间：到达甲地后宣传8分钟，开始下坡时间为$18+8=26$分钟；到达乙地后宣传8分钟到46分钟，故到达乙地时间为$46-8=38$分钟，下坡时间为$38-26=12$分钟；
3. 求下坡速度：下坡路程为$9.6-3.6=6$千米，$v_{下}=\frac{6}{12}=0.5$千米/分钟；
4. 计算返回总时间：
乙地到甲地（上坡）时间：$\frac{6}{0.2}=30$分钟；
甲地宣传8分钟；
甲地到学校（下坡）时间：$\frac{3.6}{0.5}=7.2$分钟；
总时间：$30+8+7.2=45.2$分钟。

10. 如图,在正方形 ABCD 中,O 为对角线

AC 的中点,E 为正方形内的一点,连接
BE,$BE=BA$,连接 CE 并延长,与
$∠ABE$的平分线交于点 F,连接 OF.若
$AB=2$,则 OF 的长为 ()

A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.$\sqrt{2}$

D

1. 连接AF，在正方形ABCD中，$AB=BC=2$，$∠ BAC=∠ BCA=45°$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt{2}$，O为AC中点。
2. 因为$BE=BA$，BF平分$∠ ABE$，且$BF=BF$，所以$△ ABF ≌ △ EBF$（SAS），故$∠ BAF=∠ BEF$。
3. 由$BE=BC$，得$∠ BEC=∠ BCE$，结合$∠ BEF+∠ BEC=180°$，可得$∠ BAF+∠ BCE=180°$。
4. 将$∠ BAF=45°+∠ CAF$，$∠ BCE=45°+∠ ACE$代入上式，得$45°+∠ CAF+45°+∠ ACE=180°$，化简得$∠ CAF+∠ ACE=90°$，因此$∠ AFC=90°$，$△ AFC$为直角三角形。
5. 根据直角三角形斜边中线性质，$OF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。

二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 要使$\frac{\sqrt{x+1}}{2}$在实数范围内有意义,则 x 的取值范围为.

解：
要使$\frac{\sqrt{x+1}}{2}$在实数范围内有意义，需被开方数非负，即
$x + 1 ≥ 0$
解得$x ≥ -1$

12. 若一组数据 x,3,1,6,3 的中位数和平均数相等,则 x 的值
为.

2

先计算这组数据的平均数为$\frac{x+3+1+6+3}{5}=\frac{x+13}{5}$，再根据x的取值范围分情况讨论中位数：
1. 若$x≤1$，排序后数据为$x,1,3,3,6$，中位数为3，令$\frac{x+13}{5}=3$，解得$x=2$，与$x≤1$矛盾，舍去；
2. 若$1＜x≤3$，排序后数据为$1,x,3,3,6$，中位数为3，令$\frac{x+13}{5}=3$，解得$x=2$，符合条件；
3. 若$3＜x≤6$，排序后数据为$1,3,3,x,6$，中位数为3，令$\frac{x+13}{5}=3$，解得$x=2$，与$3＜x≤6$矛盾，舍去；
4. 若$x＞6$，排序后数据为$1,3,3,6,x$，中位数为3，令$\frac{x+13}{5}=3$，解得$x=2$，与$x＞6$矛盾，舍去；
综上，x的值为2。

13. 若一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象如图所示,点$P(3,4)$
在该函数图象上,则关于 x 的不等式$kx+b≤4$的解集是

.

$x≤3$

观察一次函数图象，可知y随x的增大而增大。
因为点$P(3,4)$在该函数图象上，即当$x=3$时，$y=4$。
所以不等式$kx+b≤4$（即$y≤4$）的解集为$x≤3$。

14. 如图,在矩形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,AE 平分
$∠BAD$交 BC 于点 E.若$∠CAE=15^{\circ }$,则$∠BOE$的度数为
.

75°

1. 四边形ABCD是矩形，故∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，OA=OB。
2. AE平分∠BAD，得∠BAE=45°，结合∠CAE=15°，计算出∠BAC=45°+15°=60°。
3. 由OA=OB，∠BAC=60°，可知△OAB是等边三角形，因此AB=OB，∠ABO=60°。
4. 计算∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°。
5. 因为∠BAE=45°，∠ABC=90°，所以△ABE是等腰直角三角形，AB=BE，进而BE=OB。
6. 在△OBE中，∠BOE=(180°-∠OBE)÷2=(180°-30°)÷2=75°。