7.(2024·亭湖区月考)如图，$BE ⊥ AE$，$CF ⊥ BE$，垂足分别为$E$，$F$，$D$是线段$EF$的中点，$CF=BF$，若$AE=4$，$DE=3$，则$△ ABC$的面积是.

7.28

8. (2024·滨海县月考)如图，$∠ A=∠ B$，$AE=BE$，点$D$在$AC$边上，$∠ 1=∠ 2$，$AE$和$BD$相交于点$O$.
(1)求证:$△ AEC≌△ BED$;
(2)若$∠ 1=42°$，求$∠ BDE$的度数.

8.(1)证明:在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∠AOD=∠BOE,
∴∠BEO=∠2.又
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中，
$\begin{cases} ∠A=∠B,\\ AE=BE,\\ ∠AEC=∠BED,\\ \end{cases}$
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)解:
∵△AEC≌△BED,
∴EC=ED,∠C=∠BDE.
在△EDC中,
∵EC=ED,∠1=42°,
∴∠C=∠EDC=69°,
∴∠BDE=∠C=69°.

9. 如图,$△ ACD ≌ △ ABE$,$BE$交$AD$于点$F$,交$CD$于点$H$,$AE$交$DC$于点$G$.
求证:$△ ACG ≌ △ ABF$.

9.证明:
∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC,∠B=∠C,∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB-∠DAE=∠DAC-∠DAE，
即∠DAB=∠EAC.
在△ACG和△ABF中，$\begin{cases} ∠C=∠B,\\ AC=AB,\\ ∠CAG=∠BAF,\\ \end{cases}$
∴△ACG≌△ABF(ASA).

10.(2024·亭湖区月考)如图,AD,BF相交于点O,$AB// DF,AC// DE$,点E与点C在BF上,且$BE=CF$.
求证:(1)$△ ABC≌ △ DFE$;
(2)$O$为$BF$的中点.

10.证明:(1)
∵AB//DF,
∴∠B=∠F.
∵AC//DE,
∴∠ACB=∠DEF.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DFE中，$\begin{cases} ∠ACB=∠DEF,\\ BC=FE,\\ ∠B=∠F,\\ \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(ASA).
(2)
∵△ABC≌△DFE,
∴AC=DE.
∵AC//DE,
∴∠OAC=∠ODE.
在△ACO和△DEO中，$\begin{cases} ∠ACO=∠DEO,\\ AC=DE,\\ ∠OAC=∠ODE,\\ \end{cases}$
∴△ACO≌△DEO(ASA),
∴EO=CO.
∵BE=CF,
∴BO=FO,
∴O为BF的中点.