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1.在$△ ABC$中,正确画出$AC$边上的高的图形是 （$\boldsymbol{}$）
答案
1.C
解析
【分析】
解题首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。要找AC边上的高，需满足两个核心条件：①线段的一个端点是顶点B；②线段和AC所在的直线互相垂直，垂足落在AC所在直线上。接下来按照这两个条件逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形高的定义，AC边上的高是过点B向AC所在直线作垂线，顶点B和垂足之间的线段：
选项A：线段BD与AC不垂直，不符合高的定义，错误；
选项B：垂线过点D而非点B，不满足过顶点B的要求，错误；
选项C：过点B作AC所在直线的垂线，垂足D落在CA的延长线上，符合AC边上高的定义，正确；
选项D：线段BD与AB垂直，并未与AC所在直线垂直，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义；钝角三角形的高
【点评】
本题是三角形高的基础考查题，解题的关键是紧扣高的定义判断，尤其注意钝角三角形中，钝角相邻两条边上的高在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，不要仅以高在三角形内部作为判断依据。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。要找AC边上的高，需满足两个核心条件：①线段的一个端点是顶点B；②线段和AC所在的直线互相垂直，垂足落在AC所在直线上。接下来按照这两个条件逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形高的定义，AC边上的高是过点B向AC所在直线作垂线，顶点B和垂足之间的线段：
选项A：线段BD与AC不垂直，不符合高的定义，错误；
选项B：垂线过点D而非点B，不满足过顶点B的要求，错误；
选项C：过点B作AC所在直线的垂线，垂足D落在CA的延长线上，符合AC边上高的定义，正确；
选项D：线段BD与AB垂直，并未与AC所在直线垂直，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义；钝角三角形的高
【点评】
本题是三角形高的基础考查题，解题的关键是紧扣高的定义判断，尤其注意钝角三角形中，钝角相邻两条边上的高在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，不要仅以高在三角形内部作为判断依据。
【难度系数】
0.8
2.(2025·锡山区二模)如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是
(
A.$AB=2BF$
B.$AE=BE$
C.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CD⊥ AB$
(
B
)A.$AB=2BF$
B.$AE=BE$
C.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CD⊥ AB$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先需要明确三角形的高、角平分线、中线的定义与性质，再逐一对应选项判断正误：
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高，因此高与对应边垂直；
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段就是角平分线，因此角平分线会把对应内角分成两个相等的角；
3. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段就是中线，因此中线会把对应边分成相等的两段。
结合各选项的表述对应上述性质判断即可。
【解析】
根据CD、CE、CF的定义逐一分析选项：
选项A：CF是△ABC的中线，说明F是AB的中点，因此$AB=2BF=2AF$，该式正确；
选项B：CE是△ABC的角平分线，仅能说明CE平分$∠ ACB$，没有条件说明CE是AB边上的中线，无法推出$AE=BE$，只有当$△ ABC$是$AC=BC$的等腰三角形时该结论才成立，题目未给出此条件，因此该式错误；
选项C：CE是△ABC的角平分线，因此$∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB$，该式正确；
选项D：CD是△ABC的高，因此$CD⊥ AB$，该式正确。
综上，错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题考查三角形三类特殊线段的性质，解题核心是准确区分三类线段的定义和对应性质，不要混淆角平分线和中线的作用。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要明确三角形的高、角平分线、中线的定义与性质，再逐一对应选项判断正误：
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高，因此高与对应边垂直；
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段就是角平分线，因此角平分线会把对应内角分成两个相等的角；
3. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段就是中线，因此中线会把对应边分成相等的两段。
结合各选项的表述对应上述性质判断即可。
【解析】
根据CD、CE、CF的定义逐一分析选项：
选项A：CF是△ABC的中线，说明F是AB的中点，因此$AB=2BF=2AF$，该式正确；
选项B：CE是△ABC的角平分线，仅能说明CE平分$∠ ACB$，没有条件说明CE是AB边上的中线，无法推出$AE=BE$，只有当$△ ABC$是$AC=BC$的等腰三角形时该结论才成立，题目未给出此条件，因此该式错误；
选项C：CE是△ABC的角平分线，因此$∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB$，该式正确；
选项D：CD是△ABC的高，因此$CD⊥ AB$，该式正确。
综上，错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题考查三角形三类特殊线段的性质，解题核心是准确区分三类线段的定义和对应性质，不要混淆角平分线和中线的作用。
【难度系数】
0.8
3. 下列说法正确的是 （
A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
B.直角三角形的高只有一条
C.三角形的高至少有一条在三角形内
D.钝角三角形的三条高都在三角形外
C
）A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
B.直角三角形的高只有一条
C.三角形的高至少有一条在三角形内
D.钝角三角形的三条高都在三角形外
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查三角形的角平分线、中线和高的位置特征，解题时先回忆三类不同三角形（锐角、直角、钝角）的三种线段的位置规律，重点区分不同三角形高的位置差异，再逐一判断选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确三角形三类特殊线段的位置性质：
1. 所有三角形的角平分线、中线都在三角形内部；
2. 不同三角形的高的位置存在差异：
①锐角三角形：三条高都在三角形内部；
②直角三角形：两条高为直角边，第三条高在三角形内部；
③钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
逐个判断选项：
A. 三角形的高不一定都在内部，如钝角三角形有高在外部、直角三角形有高在边上，该选项错误；
B. 直角三角形有三条高，两条直角边就是其中的两条高，该选项错误；
C. 结合三类三角形的高的位置可知，任意三角形至少有一条高在三角形内部，该选项正确；
D. 钝角三角形只有两条高在外部，还有一条高在内部，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念题，解题关键是熟记不同类型三角形的高的位置特点，避免混淆直角三角形、钝角三角形的高的位置就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形的角平分线、中线和高的位置特征，解题时先回忆三类不同三角形（锐角、直角、钝角）的三种线段的位置规律，重点区分不同三角形高的位置差异，再逐一判断选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确三角形三类特殊线段的位置性质：
1. 所有三角形的角平分线、中线都在三角形内部；
2. 不同三角形的高的位置存在差异：
①锐角三角形：三条高都在三角形内部；
②直角三角形：两条高为直角边，第三条高在三角形内部；
③钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
逐个判断选项：
A. 三角形的高不一定都在内部，如钝角三角形有高在外部、直角三角形有高在边上，该选项错误；
B. 直角三角形有三条高，两条直角边就是其中的两条高，该选项错误；
C. 结合三类三角形的高的位置可知，任意三角形至少有一条高在三角形内部，该选项正确；
D. 钝角三角形只有两条高在外部，还有一条高在内部，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念题，解题关键是熟记不同类型三角形的高的位置特点，避免混淆直角三角形、钝角三角形的高的位置就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$AD$是$△ ABC$的中线，若$△ ABD$的周长与$△ ADC$的周长相差$2\ \mathrm{cm}$，则$BA=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$
答案
4.3或7
解析
【分析】
首先根据三角形中线的定义可知，中线AD将BC分成相等的两条线段，即BD=CD。分别写出△ABD和△ADC的周长表达式后可发现，两个周长中BD=CD、AD是公共边，因此周长差实际就是BA与AC的长度差。由于题目仅说明周长相差2cm，未明确哪个三角形周长更长，因此需要分两种情况讨论，再代入AC的长度计算即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$BA + BD + AD$，△ADC的周长为$AC + CD + AD$。
∵△ABD的周长与△ADC的周长相差2cm，
∴$|(BA + BD + AD) - (AC + CD + AD)|=2$，
化简得$|BA - AC|=2$。
已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$BA＞AC$时，$BA - 5=2$，解得$BA=7\ \mathrm{cm}$；
② 当$BA＜AC$时，$5 - BA=2$，解得$BA=3\ \mathrm{cm}$。
两种结果均符合三角形边长的要求。
【答案】
3或7
【知识点】
三角形中线的定义，周长计算，分类讨论
【点评】
本题解题核心是利用三角形中线的性质消去周长中的相等线段，将周长差转化为BA和AC的长度差，解题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据三角形中线的定义可知，中线AD将BC分成相等的两条线段，即BD=CD。分别写出△ABD和△ADC的周长表达式后可发现，两个周长中BD=CD、AD是公共边，因此周长差实际就是BA与AC的长度差。由于题目仅说明周长相差2cm，未明确哪个三角形周长更长，因此需要分两种情况讨论，再代入AC的长度计算即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$BA + BD + AD$，△ADC的周长为$AC + CD + AD$。
∵△ABD的周长与△ADC的周长相差2cm，
∴$|(BA + BD + AD) - (AC + CD + AD)|=2$，
化简得$|BA - AC|=2$。
已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 当$BA＞AC$时，$BA - 5=2$，解得$BA=7\ \mathrm{cm}$；
② 当$BA＜AC$时，$5 - BA=2$，解得$BA=3\ \mathrm{cm}$。
两种结果均符合三角形边长的要求。
【答案】
3或7
【知识点】
三角形中线的定义，周长计算，分类讨论
【点评】
本题解题核心是利用三角形中线的性质消去周长中的相等线段，将周长差转化为BA和AC的长度差，解题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5.如图,在$△ ABC$中,AD是$△ ABC$的高,AE是$△ ABC$的角平分线.若$∠ B=60°$,$∠ C=40°$,则$∠ DAE=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
5.10
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，求出AE平分∠BAC得到的∠BAE的度数；接着根据高的定义，△ABD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后通过∠BAE与∠BAD的差即可得到∠DAE的度数。
【解析】
第一步：计算∠BAC的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 60° - 40° = 80°$
第二步：计算∠BAE的度数
∵AE是△ABC的角平分线
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
第三步：计算∠BAD的度数
∵AD是△ABC的高，
∴$∠ ADB = 90°$
在Rt△ABD中，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 60° = 30°$
第四步：计算∠DAE的度数
$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 40° - 30° = 10°$
【答案】
10
【知识点】
三角形内角和定理；三角形角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题核心是结合三角形高、角平分线的性质，通过内角和定理推导相关角的度数，再利用角的和差关系求解，理清各角之间的数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要求∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，求出AE平分∠BAC得到的∠BAE的度数；接着根据高的定义，△ABD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后通过∠BAE与∠BAD的差即可得到∠DAE的度数。
【解析】
第一步：计算∠BAC的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 60° - 40° = 80°$
第二步：计算∠BAE的度数
∵AE是△ABC的角平分线
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
第三步：计算∠BAD的度数
∵AD是△ABC的高，
∴$∠ ADB = 90°$
在Rt△ABD中，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 60° = 30°$
第四步：计算∠DAE的度数
$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 40° - 30° = 10°$
【答案】
10
【知识点】
三角形内角和定理；三角形角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题核心是结合三角形高、角平分线的性质，通过内角和定理推导相关角的度数，再利用角的和差关系求解，理清各角之间的数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6.如图，$AB⊥ BC,EF⊥ BC,CD⊥ AD$，则有：
(1)在$△ AEC$中，$AE$边上的高是________；
(2)在$△ FEC$中，$EC$边上的高是________；
(3)若$AB=CD=2\ \mathrm{cm},AE=3\ \mathrm{cm}$，则$△ AEC$的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
(1)在$△ AEC$中，$AE$边上的高是________；
(2)在$△ FEC$中，$EC$边上的高是________；
(3)若$AB=CD=2\ \mathrm{cm},AE=3\ \mathrm{cm}$，则$△ AEC$的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
6.(1)CD (2)EF (3)3
解析
【分析】
解题前先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该边上的高。解题时先找到对应边的对顶点，再找出该顶点到这条边的垂线段即可得到高；求三角形面积直接代入“三角形面积=1/2×底×对应高”的公式计算即可。
【解析】
(1) 在$△ AEC$中，$AE$边对应的顶点是$C$，已知$CD⊥ AD$，$AD$是$AE$所在的直线，即$CD$是点$C$到$AE$边的垂线段，因此$AE$边上的高是$CD$。
(2) 在$△ FEC$中，$EC$边对应的顶点是$F$，已知$EF⊥ BC$，$EC$在$BC$所在的直线上，即$EF$是点$F$到$EC$边的垂线段，因此$EC$边上的高是$EF$。
(3) 对于$△ AEC$，底$AE=3\ \mathrm{cm}$，$AE$边上的高$CD=2\ \mathrm{cm}$，代入面积公式得：
$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}× AE× CD=\frac{1}{2}×3×2=3\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1)$CD$；(2)$EF$；(3)$3$
【知识点】
三角形的高的定义；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形高的概念的理解，解题时注意不要被图形中多余的线段干扰，明确高是对应顶点到对边所在直线的垂线段，熟练掌握高的定义和面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题前先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该边上的高。解题时先找到对应边的对顶点，再找出该顶点到这条边的垂线段即可得到高；求三角形面积直接代入“三角形面积=1/2×底×对应高”的公式计算即可。
【解析】
(1) 在$△ AEC$中，$AE$边对应的顶点是$C$，已知$CD⊥ AD$，$AD$是$AE$所在的直线，即$CD$是点$C$到$AE$边的垂线段，因此$AE$边上的高是$CD$。
(2) 在$△ FEC$中，$EC$边对应的顶点是$F$，已知$EF⊥ BC$，$EC$在$BC$所在的直线上，即$EF$是点$F$到$EC$边的垂线段，因此$EC$边上的高是$EF$。
(3) 对于$△ AEC$，底$AE=3\ \mathrm{cm}$，$AE$边上的高$CD=2\ \mathrm{cm}$，代入面积公式得：
$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}× AE× CD=\frac{1}{2}×3×2=3\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1)$CD$；(2)$EF$；(3)$3$
【知识点】
三角形的高的定义；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形高的概念的理解，解题时注意不要被图形中多余的线段干扰，明确高是对应顶点到对边所在直线的垂线段，熟练掌握高的定义和面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ ABC$中,E是中线AD的中点.若$△ AEC$的面积是1,则$△ ABD$的面积是
2
.答案
7.2
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分（本质是等底同高的三角形面积相等）。首先由E是AD中点，可得CE是△ACD的中线，先求出△ACD的面积；再由AD是△ABC的中线，可得△ABD和△ACD面积相等，即可求出△ABD的面积。
【解析】
∵ E是AD的中点，
∴ CE是△ACD的中线，根据三角形中线的性质，中线将三角形分为面积相等的两部分，
∴ $ S_{△ ACD} = 2S_{△ AEC} $，
已知 $ S_{△ AEC}=1 $，代入得 $ S_{△ ACD}=2×1=2 $。
又
∵ AD是△ABC的中线，
∴ D为BC中点，△ABD和△ACD等底（BD=DC）同高（点A到BC的公共高），
∴ $ S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=2 $。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的面积性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题考查三角形中线相关的面积计算，解题的核心是掌握三角形中线可将原三角形划分为两个面积相等的小三角形这一性质，通过两次运用中线的面积性质即可推导出结果，属于基础性质应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分（本质是等底同高的三角形面积相等）。首先由E是AD中点，可得CE是△ACD的中线，先求出△ACD的面积；再由AD是△ABC的中线，可得△ABD和△ACD面积相等，即可求出△ABD的面积。
【解析】
∵ E是AD的中点，
∴ CE是△ACD的中线，根据三角形中线的性质，中线将三角形分为面积相等的两部分，
∴ $ S_{△ ACD} = 2S_{△ AEC} $，
已知 $ S_{△ AEC}=1 $，代入得 $ S_{△ ACD}=2×1=2 $。
又
∵ AD是△ABC的中线，
∴ D为BC中点，△ABD和△ACD等底（BD=DC）同高（点A到BC的公共高），
∴ $ S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=2 $。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的面积性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题考查三角形中线相关的面积计算，解题的核心是掌握三角形中线可将原三角形划分为两个面积相等的小三角形这一性质，通过两次运用中线的面积性质即可推导出结果，属于基础性质应用类题目。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在$△ ABC$中,过顶点$A$画出中线、角平分线和高.
答案
8.解:如答图,其中AD是高,AE是中线,AF是角平分线。
解析
【分析】
要画出三角形的中线、角平分线和高，首先要明确三者的定义：①高是从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段；②中线是连接三角形顶点和对边中点的线段；③角平分线是三角形一个内角的平分线与对边相交后，顶点和交点之间的线段。解题时对应三个定义依次作图即可，注意不同形状的三角形高的位置可能在三角形内部或外部。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作高：过点A作AD垂直于BC所在直线，垂足为D，标注垂直符号，线段AD就是△ABC中BC边上的高；
2. 作中线：测量BC的长度，找到BC的中点E，连接AE，线段AE就是△ABC中BC边上的中线；
3. 作角平分线：作∠BAC的平分线，交BC（或BC的延长线）于点F，线段AF就是△ABC的角平分线。
最终作图结果如答图所示。
【答案】
如答图,其中AD是高,AE是中线,AF是角平分线。
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础作图题，核心考查对三角形三类特殊线段定义的理解，需要注意钝角三角形的高会落在三角形外部，作图时不要遗漏垂直标记，准确区分三类线段的特点即可正确完成。
【难度系数】
0.8
要画出三角形的中线、角平分线和高，首先要明确三者的定义：①高是从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段；②中线是连接三角形顶点和对边中点的线段；③角平分线是三角形一个内角的平分线与对边相交后，顶点和交点之间的线段。解题时对应三个定义依次作图即可，注意不同形状的三角形高的位置可能在三角形内部或外部。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作高：过点A作AD垂直于BC所在直线，垂足为D，标注垂直符号，线段AD就是△ABC中BC边上的高；
2. 作中线：测量BC的长度，找到BC的中点E，连接AE，线段AE就是△ABC中BC边上的中线；
3. 作角平分线：作∠BAC的平分线，交BC（或BC的延长线）于点F，线段AF就是△ABC的角平分线。
最终作图结果如答图所示。
【答案】
如答图,其中AD是高,AE是中线,AF是角平分线。
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础作图题，核心考查对三角形三类特殊线段定义的理解，需要注意钝角三角形的高会落在三角形外部，作图时不要遗漏垂直标记，准确区分三类线段的特点即可正确完成。
【难度系数】
0.8
