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二、解决问题:用篱笆围一个面积为$64\ \mathrm{m}^2$的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短? 最短篱笆的长度为多少?
答:此问题拆解如下:
第1步:设矩形的相邻两边长分别为$x\ \mathrm{m},y\ \mathrm{m}$.
第2步:根据题意,得$xy=64$.所用篱笆最短,即矩形的周长最短,即$x+y$的值最小.
第3步:由基本不等式,得$x+y≥ 2\sqrt{xy}=16$.
第4步:当且仅当$x=y=8$时,等号成立,此时所用篱笆最短,最短篱笆的长度为$2(x+y)=32(\mathrm{m})$.
答:此问题拆解如下:
第1步:设矩形的相邻两边长分别为$x\ \mathrm{m},y\ \mathrm{m}$.
第2步:根据题意,得$xy=64$.所用篱笆最短,即矩形的周长最短,即$x+y$的值最小.
第3步:由基本不等式,得$x+y≥ 2\sqrt{xy}=16$.
第4步:当且仅当$x=y=8$时,等号成立,此时所用篱笆最短,最短篱笆的长度为$2(x+y)=32(\mathrm{m})$.
答案
解：设矩形菜园的相邻两条边长分别为$x\ \mathrm{m}$，$y\ \mathrm{m}$，其中$x＞0$，$y＞0$。
由矩形面积为$64\ \mathrm{m}^2$，得$xy=64$。
篱笆的总长度为矩形的周长$2(x+y)$，要使所用篱笆最短，即求$2(x+y)$的最小值，等价于求$x+y$的最小值。
由基本不等式可得：
$x+y≥ 2\sqrt{xy}=2\sqrt{64}=16$
当且仅当$x=y$时，等号成立。
将$x=y$代入$xy=64$，解得$x=y=8$。
此时最短篱笆长度为$2(x+y)=2×16=32\ \mathrm{m}$。
答：当这个矩形的边长都为8m时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为32m。
由矩形面积为$64\ \mathrm{m}^2$，得$xy=64$。
篱笆的总长度为矩形的周长$2(x+y)$，要使所用篱笆最短，即求$2(x+y)$的最小值，等价于求$x+y$的最小值。
由基本不等式可得：
$x+y≥ 2\sqrt{xy}=2\sqrt{64}=16$
当且仅当$x=y$时，等号成立。
将$x=y$代入$xy=64$，解得$x=y=8$。
此时最短篱笆长度为$2(x+y)=2×16=32\ \mathrm{m}$。
答：当这个矩形的边长都为8m时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为32m。
三、探索问题:若上述篱笆的长度只有24 m,如何设计才能使菜园的面积最大?最大面积为多少?
答:若篱笆的长度为24 m,则$x+y=12$.
由$\sqrt{xy}≤\frac{x+y}{2}$,得$xy≤\frac{(x+y)^2}{4}=36$,
当且仅当$x=y=6$时,等号成立,因此当菜园是边长为6 m的正方形时,面积最大,最大面积为$36\ \mathrm{m}^2$.
答:若篱笆的长度为24 m,则$x+y=12$.
由$\sqrt{xy}≤\frac{x+y}{2}$,得$xy≤\frac{(x+y)^2}{4}=36$,
当且仅当$x=y=6$时,等号成立,因此当菜园是边长为6 m的正方形时,面积最大,最大面积为$36\ \mathrm{m}^2$.
答案
解：设菜园的相邻两边长分别为$x\ \mathrm{m}$，$y\ \mathrm{m}$，菜园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由篱笆总长为24 m，得$2(x+y)=24$，即$x+y=12$，其中$x＞0,y＞0$。
根据基本不等式$\sqrt{xy}≤ \frac{x+y}{2}$，可得：
$xy≤ \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{12^2}{4}=36$
当且仅当$x=y$时，等号成立。
结合$x+y=12$，解得$x=y=6$，此时$S=xy$取得最大值36。
答：当菜园设计为边长为6 m的正方形时，面积最大，最大面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
由篱笆总长为24 m，得$2(x+y)=24$，即$x+y=12$，其中$x＞0,y＞0$。
根据基本不等式$\sqrt{xy}≤ \frac{x+y}{2}$，可得：
$xy≤ \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{12^2}{4}=36$
当且仅当$x=y$时，等号成立。
结合$x+y=12$，解得$x=y=6$，此时$S=xy$取得最大值36。
答：当菜园设计为边长为6 m的正方形时，面积最大，最大面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
总维修费用）
(1)求$z$的解析式.
(2)当隔热层的厚度为多少厘米时,30年的总费用最小?最小是多少?
解题指导(1)第1步:表示使用30年的能源消耗费用.已知$y=\frac{k}{x+1}$,利用当$x=0$时,$y=6$,求得$k$.
第2步:表示出$z$的解析式.
(2)利用基本不等式对$z$的解析式进行变形,转化为“积定和最小”的形式求值.
答案 解:(1)依题意,当$x=0$时,$y=6$,即$6=\frac{k}{1}$,可得$k=6$,故$y=\frac{6}{x+1}$,
所以$z=5x+\frac{6}{x+1}×30+30=5x+\frac{180}{x+1}+30$
$(0≤x≤10)$.
(2)$z=5x+\frac{180}{x+1}+30=5x+5+\frac{180}{x+1}+25≥2\sqrt{5(x+1)·\frac{180}{x+1}}+25=85(0≤x≤10)$,当且仅当$5(x+1)=\frac{180}{x+1}$,即$x=5$时,等号成立,所以当隔热层的厚度为5 cm时,30年的总费用最小,最小是85万元.
(1)求$z$的解析式.
(2)当隔热层的厚度为多少厘米时,30年的总费用最小?最小是多少?
解题指导(1)第1步:表示使用30年的能源消耗费用.已知$y=\frac{k}{x+1}$,利用当$x=0$时,$y=6$,求得$k$.
第2步:表示出$z$的解析式.
(2)利用基本不等式对$z$的解析式进行变形,转化为“积定和最小”的形式求值.
答案 解:(1)依题意,当$x=0$时,$y=6$,即$6=\frac{k}{1}$,可得$k=6$,故$y=\frac{6}{x+1}$,
所以$z=5x+\frac{6}{x+1}×30+30=5x+\frac{180}{x+1}+30$
$(0≤x≤10)$.
(2)$z=5x+\frac{180}{x+1}+30=5x+5+\frac{180}{x+1}+25≥2\sqrt{5(x+1)·\frac{180}{x+1}}+25=85(0≤x≤10)$,当且仅当$5(x+1)=\frac{180}{x+1}$,即$x=5$时,等号成立,所以当隔热层的厚度为5 cm时,30年的总费用最小,最小是85万元.
答案
解：(1) 依题意，将$x=0$，$y=6$代入$y=\frac{k}{x+1}$，得$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，因此$y=\frac{6}{x+1}$。
所以总费用$z=5x + 30y + 30 = 5x + \frac{6}{x+1}×30 + 30$，
即$z=5x+\frac{180}{x+1}+30\quad(0≤ x≤10)$。
(2) 将$z$变形得：
$z=5(x+1)+\frac{180}{x+1}+25$，
由基本不等式，对任意$x\in[0,10]$，$5(x+1)＞0$，$\frac{180}{x+1}＞0$，因此：
$5(x+1)+\frac{180}{x+1}≥ 2\sqrt{5(x+1)·\frac{180}{x+1}}=60$，
故$z≥60+25=85$，
当且仅当$5(x+1)=\frac{180}{x+1}$，即$(x+1)^2=36$，解得$x=5$（$x=-7$舍去）时，等号成立，$x=5\in[0,10]$，符合条件。
答：当隔热层的厚度为5厘米时，30年的总费用最小，最小是85万元。
所以总费用$z=5x + 30y + 30 = 5x + \frac{6}{x+1}×30 + 30$，
即$z=5x+\frac{180}{x+1}+30\quad(0≤ x≤10)$。
(2) 将$z$变形得：
$z=5(x+1)+\frac{180}{x+1}+25$，
由基本不等式，对任意$x\in[0,10]$，$5(x+1)＞0$，$\frac{180}{x+1}＞0$，因此：
$5(x+1)+\frac{180}{x+1}≥ 2\sqrt{5(x+1)·\frac{180}{x+1}}=60$，
故$z≥60+25=85$，
当且仅当$5(x+1)=\frac{180}{x+1}$，即$(x+1)^2=36$，解得$x=5$（$x=-7$舍去）时，等号成立，$x=5\in[0,10]$，符合条件。
答：当隔热层的厚度为5厘米时，30年的总费用最小，最小是85万元。
