登录
7 如图，O为直线AB上一点，将三角尺MON的直角顶点放在点O处.若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是 （
A.$∠AOM=3∠NOC$
B.$∠AOM=2∠NOC$
C.$2∠AOM=3∠NOC$
D.$3∠AOM=5∠NOC$
B
）A.$∠AOM=3∠NOC$
B.$∠AOM=2∠NOC$
C.$2∠AOM=3∠NOC$
D.$3∠AOM=5∠NOC$
答案
7. B 【解析】设$∠ NOC=x$. 因为$∠ MON=90°$，所以$∠ MOC=∠ MON-∠ NOC=90°-x$. 因为OC是$∠ MOB$的平分线，所以$∠ MOB=2∠ MOC=180°-2x$. 又因为$∠ AOM+∠ MOB=180°$，所以$∠ AOM=180°-∠ MOB=180°-(180°-2x)=2x=2∠ NOC$.
解析
【分析】
解题时可以先设∠NOC为未知量，先利用三角尺的直角特征表示出∠MOC的度数，再结合角平分线的性质得到∠MOB的表达式，最后根据平角的定义，即直线AB上∠AOM与∠MOB之和为180°，推导∠AOM和∠NOC的数量关系，即可选出正确选项。
【解析】
设$∠ NOC=x$，
因为三角尺MON的直角顶点在O处，所以$∠ MON=90°$，
因此$∠ MOC=∠ MON-∠ NOC=90°-x$，
又因为OC是$∠ MOB$的平分线，根据角平分线的定义可得：$∠ MOB=2∠ MOC=2(90°-x)=180°-2x$，
因为O在直线AB上，$∠ AOB$是平角，即$∠ AOM+∠ MOB=180°$，
所以$∠ AOM=180°-∠ MOB=180°-(180°-2x)=2x$，
即$∠ AOM=2∠ NOC$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，通过设参数的方法量化未知角，结合角平分线、平角的性质即可快速推导角的数量关系，解题的核心是理清图中各角的位置关系。
【难度系数】
0.7
解题时可以先设∠NOC为未知量，先利用三角尺的直角特征表示出∠MOC的度数，再结合角平分线的性质得到∠MOB的表达式，最后根据平角的定义，即直线AB上∠AOM与∠MOB之和为180°，推导∠AOM和∠NOC的数量关系，即可选出正确选项。
【解析】
设$∠ NOC=x$，
因为三角尺MON的直角顶点在O处，所以$∠ MON=90°$，
因此$∠ MOC=∠ MON-∠ NOC=90°-x$，
又因为OC是$∠ MOB$的平分线，根据角平分线的定义可得：$∠ MOB=2∠ MOC=2(90°-x)=180°-2x$，
因为O在直线AB上，$∠ AOB$是平角，即$∠ AOM+∠ MOB=180°$，
所以$∠ AOM=180°-∠ MOB=180°-(180°-2x)=2x$，
即$∠ AOM=2∠ NOC$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，通过设参数的方法量化未知角，结合角平分线、平角的性质即可快速推导角的数量关系，解题的核心是理清图中各角的位置关系。
【难度系数】
0.7
8 如图，$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，则图中与$∠ AOD$相等的角是________。若$∠ AOB=60°$，则$∠ 1=\_\_\_\_\_\_°$，$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
8. $∠ BOD,∠ COE$ 15 45
解析
【分析】
解题思路如下：1. 找与∠AOD相等的角：先将∠AOD拆分为若干个已知相等的小角之和，再寻找其余由相同数量小角组成的角，因为所有小角相等，所以相同数量小角的和也相等。2. 求∠1的度数：观察可知∠AOB是4个相等小角的总和，用∠AOB的度数除以4即可得到单个小角∠1的度数。3. 求∠BOC的度数：∠BOC包含3个相等的小角，用单个小角的度数乘3即可算出结果。
【解析】
已知∠1=∠2=∠3=∠4：
1. 角的等量判断：
∠AOD = ∠2+∠3+∠4
∠BOD = ∠1+∠2+∠3，因为∠1=∠4，所以∠BOD = ∠4+∠2+∠3 = ∠AOD
∠COE = ∠2+∠3+∠4 = ∠AOD
因此与∠AOD相等的角是∠BOD、∠COE。
2. 角度计算：
∠AOB = ∠1+∠2+∠3+∠4 = 4∠1 = 60°，解得∠1 = 60°÷4 = 15°
∠BOC = ∠1+∠2+∠3 = 3∠1 = 3×15° = 45°
【答案】
$∠ BOD,∠ COE$；15；45
【知识点】
角的和差运算；等分角计算；等角代换
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对角的组成的识别能力和角的和差计算能力，解题时只要准确数清楚组成大角的小角数量，结合已知等角条件就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 找与∠AOD相等的角：先将∠AOD拆分为若干个已知相等的小角之和，再寻找其余由相同数量小角组成的角，因为所有小角相等，所以相同数量小角的和也相等。2. 求∠1的度数：观察可知∠AOB是4个相等小角的总和，用∠AOB的度数除以4即可得到单个小角∠1的度数。3. 求∠BOC的度数：∠BOC包含3个相等的小角，用单个小角的度数乘3即可算出结果。
【解析】
已知∠1=∠2=∠3=∠4：
1. 角的等量判断：
∠AOD = ∠2+∠3+∠4
∠BOD = ∠1+∠2+∠3，因为∠1=∠4，所以∠BOD = ∠4+∠2+∠3 = ∠AOD
∠COE = ∠2+∠3+∠4 = ∠AOD
因此与∠AOD相等的角是∠BOD、∠COE。
2. 角度计算：
∠AOB = ∠1+∠2+∠3+∠4 = 4∠1 = 60°，解得∠1 = 60°÷4 = 15°
∠BOC = ∠1+∠2+∠3 = 3∠1 = 3×15° = 45°
【答案】
$∠ BOD,∠ COE$；15；45
【知识点】
角的和差运算；等分角计算；等角代换
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对角的组成的识别能力和角的和差计算能力，解题时只要准确数清楚组成大角的小角数量，结合已知等角条件就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
9 [2024南京]如图，点A，O，B在同一条直线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线。若∠AOE=162°，则∠BOD=
108
°。答案
9. 108 【解析】因为OD是$∠ AOC$的平分线，OE是$∠ BOC$的平分线，所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$. 所以$∠ DOE=∠ DOC+∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=90°$. 因为$∠ AOE=162°$，所以$∠ AOD=∠ AOE-∠ DOE=72°$. 因为$∠ AOD+∠ BOD=180°$，所以$∠ BOD=180°-72°=108°$.
解析
【分析】
首先观察图形，点A、O、B共线可得∠AOB是平角为180°，已知OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，可先利用角平分线的性质推导∠DOE的度数；再结合已知∠AOE的度数，求出∠AOD的度数；最后根据∠AOD和∠BOD组成平角，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ ∠AOB=180°。
∵ OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴ $∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠EOC=\frac{1}{2}∠BOC$，
∴ $∠DOE=∠DOC+∠EOC=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB=90°$。
∵ $∠AOE=162°$，
∴ $∠AOD=∠AOE-∠DOE=162°-90°=72°$。
又
∵ $∠AOD+∠BOD=180°$，
∴ $∠BOD=180°-72°=108°$。
【答案】
108
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题的核心是先根据两个角平分线的条件推出∠DOE为90°，再结合已知角的度数逐步推导所求角，解题时需理清图中各个角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，点A、O、B共线可得∠AOB是平角为180°，已知OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，可先利用角平分线的性质推导∠DOE的度数；再结合已知∠AOE的度数，求出∠AOD的度数；最后根据∠AOD和∠BOD组成平角，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ ∠AOB=180°。
∵ OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴ $∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠EOC=\frac{1}{2}∠BOC$，
∴ $∠DOE=∠DOC+∠EOC=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB=90°$。
∵ $∠AOE=162°$，
∴ $∠AOD=∠AOE-∠DOE=162°-90°=72°$。
又
∵ $∠AOD+∠BOD=180°$，
∴ $∠BOD=180°-72°=108°$。
【答案】
108
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题的核心是先根据两个角平分线的条件推出∠DOE为90°，再结合已知角的度数逐步推导所求角，解题时需理清图中各个角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
10 如图，$∠ AOB$ 在 $∠ MON$ 内部转动，射线 $OC$ 和射线 $OD$ 分别平分 $∠ AOM$ 和 $∠ BON$.
（1）若 $∠ MON=150°$，$∠ AOB=30°$，则 $∠ COD=\_\_\_\_\_\_°$；
（2）请你猜想 $∠ AOB$，$∠ COD$ 和 $∠ MON$ 三个角之间的数量关系，并说明理由.
（1）若 $∠ MON=150°$，$∠ AOB=30°$，则 $∠ COD=\_\_\_\_\_\_°$；
（2）请你猜想 $∠ AOB$，$∠ COD$ 和 $∠ MON$ 三个角之间的数量关系，并说明理由.
答案
10. (1) 90
(2) $2∠ COD - ∠ AOB = ∠ MON$ 理由：设$∠ AOB=θ$，$∠ MOC=α$，$∠ NOD=β$. 因为射线OC和射线OD分别平分$∠ AOM$和$∠ BON$，所以$∠ AOC=∠ MOC=α$，$∠ AOM=2∠ MOC=2α$，$∠ BOD=∠ NOD=β$，$∠ BON=2∠ NOD=2β$. 所以$∠ COD=∠ AOC+∠ AOB+∠ BOD=α+θ+β$，$∠ MON=∠ AOM+∠ AOB+∠ BON=2α+θ+2β$. 所以$2∠ COD-∠ AOB=2(α+θ+β)-θ=2α+θ+2β$. 所以$2∠ COD-∠ AOB=∠ MON$.
(2) $2∠ COD - ∠ AOB = ∠ MON$ 理由：设$∠ AOB=θ$，$∠ MOC=α$，$∠ NOD=β$. 因为射线OC和射线OD分别平分$∠ AOM$和$∠ BON$，所以$∠ AOC=∠ MOC=α$，$∠ AOM=2∠ MOC=2α$，$∠ BOD=∠ NOD=β$，$∠ BON=2∠ NOD=2β$. 所以$∠ COD=∠ AOC+∠ AOB+∠ BOD=α+θ+β$，$∠ MON=∠ AOM+∠ AOB+∠ BON=2α+θ+2β$. 所以$2∠ COD-∠ AOB=2(α+θ+β)-θ=2α+θ+2β$. 所以$2∠ COD-∠ AOB=∠ MON$.
解析
【分析】
（1）解题思路：首先根据已知的∠MON和∠AOB的度数，求出∠AOM与∠BON的和，再利用角平分线的性质得到∠AOC、∠BOD分别是∠AOM、∠BON的一半，计算出∠AOC与∠BOD的和后，加上∠AOB的度数即可得到∠COD的度数。
（2）解题思路：通过设参数表示相关角，利用角平分线的性质将∠COD和∠MON都用相同参数表示，再通过代数变形推导三个角之间的数量关系。
【解析】
（1）已知∠MON=150°，∠AOB=30°，则：
$∠ AOM + ∠ BON = ∠ MON - ∠ AOB = 150° - 30° = 120°$
∵射线OC平分∠AOM，射线OD平分∠BON
∴$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOM$，$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BON$
∴$∠ AOC + ∠ BOD = \frac{1}{2}(∠ AOM + ∠ BON) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
∴$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOB + ∠ BOD = 60° + 30° = 90°$
（2）猜想：$2∠ COD - ∠ AOB = ∠ MON$，理由如下：
设$∠ AOB=θ$，$∠ MOC=α$，$∠ NOD=β$
∵OC平分∠AOM，OD平分∠BON
∴$∠ AOC=∠ MOC=α$，$∠ AOM=2α$；$∠ BOD=∠ NOD=β$，$∠ BON=2β$
∴$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOB + ∠ BOD = α + θ + β$
$∠ MON = ∠ AOM + ∠ AOB + ∠ BON = 2α + θ + 2β$
则$2∠ COD - ∠ AOB = 2(α + θ + β) - θ = 2α + θ + 2β = ∠ MON$
即$2∠ COD - ∠ AOB = ∠ MON$
【答案】
（1）$\boxed{90}$；（2）$\boxed{2∠COD - ∠AOB = ∠MON}$，理由见解析
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算章节的典型题型，核心是利用角平分线的性质完成角的等分转化，通过拆分角的组成、设参数推导的方法可以清晰梳理各角的关系，能有效考查学生对角度关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：首先根据已知的∠MON和∠AOB的度数，求出∠AOM与∠BON的和，再利用角平分线的性质得到∠AOC、∠BOD分别是∠AOM、∠BON的一半，计算出∠AOC与∠BOD的和后，加上∠AOB的度数即可得到∠COD的度数。
（2）解题思路：通过设参数表示相关角，利用角平分线的性质将∠COD和∠MON都用相同参数表示，再通过代数变形推导三个角之间的数量关系。
【解析】
（1）已知∠MON=150°，∠AOB=30°，则：
$∠ AOM + ∠ BON = ∠ MON - ∠ AOB = 150° - 30° = 120°$
∵射线OC平分∠AOM，射线OD平分∠BON
∴$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOM$，$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BON$
∴$∠ AOC + ∠ BOD = \frac{1}{2}(∠ AOM + ∠ BON) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$
∴$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOB + ∠ BOD = 60° + 30° = 90°$
（2）猜想：$2∠ COD - ∠ AOB = ∠ MON$，理由如下：
设$∠ AOB=θ$，$∠ MOC=α$，$∠ NOD=β$
∵OC平分∠AOM，OD平分∠BON
∴$∠ AOC=∠ MOC=α$，$∠ AOM=2α$；$∠ BOD=∠ NOD=β$，$∠ BON=2β$
∴$∠ COD = ∠ AOC + ∠ AOB + ∠ BOD = α + θ + β$
$∠ MON = ∠ AOM + ∠ AOB + ∠ BON = 2α + θ + 2β$
则$2∠ COD - ∠ AOB = 2(α + θ + β) - θ = 2α + θ + 2β = ∠ MON$
即$2∠ COD - ∠ AOB = ∠ MON$
【答案】
（1）$\boxed{90}$；（2）$\boxed{2∠COD - ∠AOB = ∠MON}$，理由见解析
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算章节的典型题型，核心是利用角平分线的性质完成角的等分转化，通过拆分角的组成、设参数推导的方法可以清晰梳理各角的关系，能有效考查学生对角度关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
11 教材 P167 例 3 变式 如图,已知$∠α,∠β$,请用直尺和圆规作一个角,使其大小等于$2∠α - ∠β$(不写作法,保留作图痕迹).
答案
11. 如图，$∠ AOF$ 即为所求
（第11题）
解析
【分析】
要作出大小为$2∠α - ∠β$的角，可按照先构造和、再构造差的思路操作：首先利用尺规作角的基本方法，先拼出2倍的$∠α$，再在得到的$2∠α$的内部，减去一个大小等于$∠β$的角，剩余的角就是所求的角。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 先作射线$OA$，以$O$为顶点、$OA$为一边，作$∠AOB=∠α$；
2. 以$OB$为边，在$∠AOB$的同侧再作$∠BOC=∠α$，此时$∠AOC=∠α+∠α=2∠α$；
3. 以$OC$为边，在$∠AOC$的内部作$∠COF=∠β$，则$∠AOF=∠AOC-∠COF=2∠α-∠β$，保留所有作图圆弧痕迹即可。
【答案】
11. 如图，$∠ AOF$ 即为所求
（第11题）
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差运算
【点评】
本题是尺规作角的基础应用，解题关键是明确角的和差对应的作图规则：作角的和时在已知角外部作新角，作角的差时在已知角内部作新角，作图时需注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要作出大小为$2∠α - ∠β$的角，可按照先构造和、再构造差的思路操作：首先利用尺规作角的基本方法，先拼出2倍的$∠α$，再在得到的$2∠α$的内部，减去一个大小等于$∠β$的角，剩余的角就是所求的角。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 先作射线$OA$，以$O$为顶点、$OA$为一边，作$∠AOB=∠α$；
2. 以$OB$为边，在$∠AOB$的同侧再作$∠BOC=∠α$，此时$∠AOC=∠α+∠α=2∠α$；
3. 以$OC$为边，在$∠AOC$的内部作$∠COF=∠β$，则$∠AOF=∠AOC-∠COF=2∠α-∠β$，保留所有作图圆弧痕迹即可。
【答案】
11. 如图，$∠ AOF$ 即为所求
（第11题）
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差运算
【点评】
本题是尺规作角的基础应用，解题关键是明确角的和差对应的作图规则：作角的和时在已知角外部作新角，作角的差时在已知角内部作新角，作图时需注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
12 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,∠2−∠1=15°,∠3=130°.
（1）求∠2 的度数；
（2）试说明 OE 是∠COB 的平分线.
（第 12 题）
（1）求∠2 的度数；
（2）试说明 OE 是∠COB 的平分线.
（第 12 题）
答案
12. (1) 因为$∠ 3=130°$，$∠ COD=180°$，即$∠ 1+∠ 3=180°$，所以$∠ 1=180°-∠ 3=180°-130°=50°$. 因为$∠ 2-∠ 1=15°$，所以$∠ 2=15°+∠ 1=15°+50°=65°$
(2) 因为$∠ 1=50°$，$∠ 2=65°$，$∠ AOB=180°$，即$∠ 1+∠ COE+∠ 2=180°$，所以$∠ COE=180°-∠ 1-∠ 2=65°$. 所以$∠ COE=∠ 2$. 所以OE是$∠ COB$的平分线
(2) 因为$∠ 1=50°$，$∠ 2=65°$，$∠ AOB=180°$，即$∠ 1+∠ COE+∠ 2=180°$，所以$∠ COE=180°-∠ 1-∠ 2=65°$. 所以$∠ COE=∠ 2$. 所以OE是$∠ COB$的平分线
解析
【分析】
（1）求解∠2的度数时，先观察图形可得∠1和∠3互为邻补角，和为180°，已知∠3的度数可先求出∠1，再结合题目给出的∠2与∠1的差的关系，就能算出∠2的度数。
（2）要说明OE是∠COB的平分线，根据角平分线的定义，只需证明∠COE和∠2相等即可；利用平角∠AOB度数为180°，减去已知的∠1和∠2的度数求出∠COE，验证其与∠2相等即可完成证明。
【解析】
(1) 因为$∠ 3=130°$，$∠ 1$与$∠ 3$互为邻补角，即$∠ 1+∠ 3=180°$，
所以$∠ 1=180°-∠ 3=180°-130°=50°$，
又因为$∠ 2-∠ 1=15°$，
所以$∠ 2=15°+∠ 1=15°+50°=65°$。
(2) 因为$∠ AOB$是平角，即$∠ 1+∠ COE+∠ 2=180°$，
已知$∠ 1=50°$，$∠ 2=65°$，
所以$∠ COE=180°-∠ 1-∠ 2=180°-50°-65°=65°$，
所以$∠ COE=∠ 2$，
因此OE是$∠ COB$的平分线。
【答案】
(1) $\boldsymbol{65°}$
(2) OE是$∠ COB$的平分线，理由见解析
【知识点】
邻补角的性质，角度和差计算，角平分线的判定
【点评】
本题是角度计算与角平分线判定的基础题，解题关键是利用平角的性质梳理角度间的和差关系，再结合角平分线的定义完成推导，是几何角度模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）求解∠2的度数时，先观察图形可得∠1和∠3互为邻补角，和为180°，已知∠3的度数可先求出∠1，再结合题目给出的∠2与∠1的差的关系，就能算出∠2的度数。
（2）要说明OE是∠COB的平分线，根据角平分线的定义，只需证明∠COE和∠2相等即可；利用平角∠AOB度数为180°，减去已知的∠1和∠2的度数求出∠COE，验证其与∠2相等即可完成证明。
【解析】
(1) 因为$∠ 3=130°$，$∠ 1$与$∠ 3$互为邻补角，即$∠ 1+∠ 3=180°$，
所以$∠ 1=180°-∠ 3=180°-130°=50°$，
又因为$∠ 2-∠ 1=15°$，
所以$∠ 2=15°+∠ 1=15°+50°=65°$。
(2) 因为$∠ AOB$是平角，即$∠ 1+∠ COE+∠ 2=180°$，
已知$∠ 1=50°$，$∠ 2=65°$，
所以$∠ COE=180°-∠ 1-∠ 2=180°-50°-65°=65°$，
所以$∠ COE=∠ 2$，
因此OE是$∠ COB$的平分线。
【答案】
(1) $\boldsymbol{65°}$
(2) OE是$∠ COB$的平分线，理由见解析
【知识点】
邻补角的性质，角度和差计算，角平分线的判定
【点评】
本题是角度计算与角平分线判定的基础题，解题关键是利用平角的性质梳理角度间的和差关系，再结合角平分线的定义完成推导，是几何角度模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
