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12. 一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知$∠ 2=105°$，则$∠ 1=$。
答案
$\boldsymbol{75°}$
解析
解：由图可知，两条竖直悬线互相平行，根据两直线平行，同旁内角互补，可得
$∠1 + ∠2 = 180°$
已知$∠2=105°$，代入得
$∠1 = 180° - 105° = 75°$
$∠1 + ∠2 = 180°$
已知$∠2=105°$，代入得
$∠1 = 180° - 105° = 75°$
13.如图，AB//CD，点E在CD上，BC平分∠ABE.若∠BED=70°，则∠ABC的大小为.
答案
$\boldsymbol{35°}$
解析
解：
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠BED = 70°（两直线平行，内错角相等）。
∵ BC平分∠ABE，
∴ ∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}×70° = 35°$。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠BED = 70°（两直线平行，内错角相等）。
∵ BC平分∠ABE，
∴ ∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}×70° = 35°$。
14. 如图，AB//CD，EF交GF于点F，∠BEF=60°，则∠EFG+∠CGF=。
答案
$\boldsymbol{240°}$
解析
解：
过点F作$FH// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore FH// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because AB// FH$，
$\therefore ∠ BEF = ∠ EFH = 60°$（两直线平行，内错角相等），
$\because FH// CD$，
$\therefore ∠ HFG = ∠ FGD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ CGF + ∠ FGD = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ HFG + ∠ CGF = 180°$，
$\therefore ∠ EFG + ∠ CGF = ∠ EFH + ∠ HFG + ∠ CGF = 60° + 180° = 240°$。
过点F作$FH// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore FH// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because AB// FH$，
$\therefore ∠ BEF = ∠ EFH = 60°$（两直线平行，内错角相等），
$\because FH// CD$，
$\therefore ∠ HFG = ∠ FGD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ CGF + ∠ FGD = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ HFG + ∠ CGF = 180°$，
$\therefore ∠ EFG + ∠ CGF = ∠ EFH + ∠ HFG + ∠ CGF = 60° + 180° = 240°$。
15. 小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题.如图所示，已知$AB// CD$，$∠ BAE=87°$，$∠ DCE=121°$，则$∠ E$ 的度数是.
答案
$\boldsymbol{34°}$
解析
解：延长DC交AE于点F，
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BAE = ∠ EFC = 87°$，
∵ $∠ DCE$是$△ ECF$的外角，
∴ $∠ DCE = ∠ EFC + ∠ E$，
∴ $∠ E = ∠ DCE - ∠ EFC = 121° - 87° = 34°$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BAE = ∠ EFC = 87°$，
∵ $∠ DCE$是$△ ECF$的外角，
∴ $∠ DCE = ∠ EFC + ∠ E$，
∴ $∠ E = ∠ DCE - ∠ EFC = 121° - 87° = 34°$。
16.将一个宽度相等的长方形纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1=50°，则∠2=
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
解：
∵ 长方形纸条的上下两边互相平行，
根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可得与∠1对应的内错角为50°，
由折叠的性质可知，∠2等于这两个相等角的和，
∴ ∠2 = 2×50° = 100°。
∵ 长方形纸条的上下两边互相平行，
根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可得与∠1对应的内错角为50°，
由折叠的性质可知，∠2等于这两个相等角的和，
∴ ∠2 = 2×50° = 100°。
17.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，∠CAD=∠AOB=90°,∠ACD=60°,∠ADC=30°,∠OAB=∠ABO=45°,若固定三角尺AOB,改变三角尺ACD的位置(其中点A的位置始终不变),当∠BAD的度数为时,CD//AB.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当CD与AB形成内错角的位置关系时，若$CD// AB$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$∠ BAD = ∠ ADC = 30°$；
② 当CD与AB形成另一组内错角的位置关系时，若$CD// AB$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$∠ BAC = ∠ ACD = 60°$，
又$\because ∠ CAD = 90°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 60° + 90° = 150°$。
综上，$∠ BAD$的度数为$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$。
① 当CD与AB形成内错角的位置关系时，若$CD// AB$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$∠ BAD = ∠ ADC = 30°$；
② 当CD与AB形成另一组内错角的位置关系时，若$CD// AB$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$∠ BAC = ∠ ACD = 60°$，
又$\because ∠ CAD = 90°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 60° + 90° = 150°$。
综上，$∠ BAD$的度数为$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$。
18.如图，$AB// CD$，点$F$，$G$分别在$AB$，$CD$上，点$E$在$AB$，$CD$之间，连接$EF$，$EG$，$FQ$平分$∠ BFE$，$GH$平分$∠ CGE$且交$FQ$的反向延长线于点$H$，交$AB$于点$P$，$∠ BFE=70°$，$∠ DGE=40°$.给出下面四个结论：
①$∠ DGH=110°$；②$EF// GH$；③$∠ HFE=∠ E$；④$∠ H=∠ AFH$.
上述结论中，正确结论的序号有________.
①$∠ DGH=110°$；②$EF// GH$；③$∠ HFE=∠ E$；④$∠ H=∠ AFH$.
上述结论中，正确结论的序号有________.
答案
解：
1. 推导结论①：
已知$∠ DGE=40°$，因此$∠ CGE=180°-∠ DGE=140°$。
因为$GH$平分$∠ CGE$，所以$∠ CGH=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，
则$∠ DGH=180°-∠ CGH=110°$，结论①正确。
2. 推导结论②：
过点$E$作$EM// AB$，由$AB// CD$得$EM// CD$，
因此$∠ FEM=∠ BFE=70°$，$∠ MEG=∠ DGE=40°$，
则$∠ FEG=∠ FEM+∠ MEG=110°$。
又$∠ HGE=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，所以$∠ FEG+∠ HGE=110°+70°=180°$，
同旁内角互补，故$EF// GH$，结论②正确。
3. 推导结论③：
由$FQ$平分$∠ BFE$，得$∠ BFQ=\frac{1}{2}∠ BFE=35°$，
$FH$是$FQ$的反向延长线，因此$∠ AFH=∠ BFQ=35°$，
$∠ AFE=180°-∠ BFE=110°$，则$∠ HFE=∠ AFH+∠ AFE=35°+110°=145°$，
而$∠ E=∠ FEG=110°$，显然$∠ HFE≠∠ E$，结论③错误。
4. 推导结论④：
由$AB// CD$，得内错角$∠ GPB=∠ CGH=70°$，因此$∠ AP G=180°-∠ GPB=110°$，
在$△ HFP$中，$∠ HPF=∠ APG=110°$，$∠ HFP=∠ AFH=35°$，
所以$∠ H=180°-110°-35°=35°$，即$∠ H=∠ AFH$，结论④正确。
综上，正确结论的序号为$\boldsymbol{①②④}$。
1. 推导结论①：
已知$∠ DGE=40°$，因此$∠ CGE=180°-∠ DGE=140°$。
因为$GH$平分$∠ CGE$，所以$∠ CGH=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，
则$∠ DGH=180°-∠ CGH=110°$，结论①正确。
2. 推导结论②：
过点$E$作$EM// AB$，由$AB// CD$得$EM// CD$，
因此$∠ FEM=∠ BFE=70°$，$∠ MEG=∠ DGE=40°$，
则$∠ FEG=∠ FEM+∠ MEG=110°$。
又$∠ HGE=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，所以$∠ FEG+∠ HGE=110°+70°=180°$，
同旁内角互补，故$EF// GH$，结论②正确。
3. 推导结论③：
由$FQ$平分$∠ BFE$，得$∠ BFQ=\frac{1}{2}∠ BFE=35°$，
$FH$是$FQ$的反向延长线，因此$∠ AFH=∠ BFQ=35°$，
$∠ AFE=180°-∠ BFE=110°$，则$∠ HFE=∠ AFH+∠ AFE=35°+110°=145°$，
而$∠ E=∠ FEG=110°$，显然$∠ HFE≠∠ E$，结论③错误。
4. 推导结论④：
由$AB// CD$，得内错角$∠ GPB=∠ CGH=70°$，因此$∠ AP G=180°-∠ GPB=110°$，
在$△ HFP$中，$∠ HPF=∠ APG=110°$，$∠ HFP=∠ AFH=35°$，
所以$∠ H=180°-110°-35°=35°$，即$∠ H=∠ AFH$，结论④正确。
综上，正确结论的序号为$\boldsymbol{①②④}$。
