20. 我们知道,两点之间线段最短,因此,连接两点间线段的长度叫作两点间的距离;同理,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,因此,直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离.类似地,连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中,最短线段的长度,叫作点到曲线的距离.依此定义,如图所示,在平面直角坐标系中,点$A(2,1)$到以原点为圆心,以1为半径的圆的距离为.

$\boldsymbol{\sqrt{5}-1}$

解：连接OA，
∵点A的坐标为$(2,1)$，由勾股定理可得：
$OA=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$，
已知该圆以原点为圆心，半径为1，
则点A到圆上各点的所有线段中，最短线段的长度为$OA - 1 = \sqrt{5}-1$。
即点$A(2,1)$到该圆的距离为$\sqrt{5}-1$。
最终

21. 如图所示,在平面直角坐标系中,已知点$A(-3,3),B(-5,1),C(-2,0)$,$P(a,b)$是$△ ABC$的边$AC$上任意一点,$△ ABC$经过平移后得到$△ A_1B_1C_1$,点$P$的对应点为$P_1(a+6,b-2)$.
(1)直接写出点$A_1,B_1,C_1$的坐标;
(2)在图中画出$△ A_1B_1C_1$;
(3)求出$△ AOA_1$的面积.

解：
(1) 由点P的平移规则可知，△ABC的平移方式为：向右平移6个单位，向下平移2个单位。
∴ $A_1(3,1)$，$B_1(1,-1)$，$C_1(4,-2)$。
(2) 分别在平面直角坐标系中描出点$A_1(3,1)$、$B_1(1,-1)$、$C_1(4,-2)$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 过点A作$AD⊥ x$轴于D，过点$A_1$作$A_1E⊥ x$轴于E，
则$D(-3,0)$，$E(3,0)$，$AD=3$，$A_1E=1$，$DE=6$。
$\begin{aligned}S_{△ AOA_1}&=S_{\mathrm{梯形}ADEA_1}-S_{△ ADO}-S_{△ A_1EO}\\&=\frac{1}{2}×(AD+A_1E)× DE-\frac{1}{2}× OD× AD-\frac{1}{2}× OE× A_1E\\&=\frac{1}{2}×(3+1)×6-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×3×1\\&=12-4.5-1.5\\&=6\end{aligned}$
∴ $△ AOA_1$的面积为6。