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33. 如图所示，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，$M$为$AD$的中点，延长$CM$交$AB$于点$P$，$DN// CP$交$AB$于点$N$，若$AB=6$，则$AP$的长为()
A.1
B.2.5
C.2
D.3
A.1
B.2.5
C.2
D.3
答案
C
解析
1. 由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，可得D是BC的中点。
2. 因为DN//CP，D为BC中点，所以DN是△BCP的中位线，因此N是BP的中点，即BN=NP。
3. 因为M是AD的中点，且PM//DN，所以PM是△ADN的中位线，因此P是AN的中点，即AP=PN。
4. 综上可得AP=PN=BN，因此AB=AP+PN+BN=3AP。
5. 代入AB=6，计算得AP=6÷3=2。
2. 因为DN//CP，D为BC中点，所以DN是△BCP的中位线，因此N是BP的中点，即BN=NP。
3. 因为M是AD的中点，且PM//DN，所以PM是△ADN的中位线，因此P是AN的中点，即AP=PN。
4. 综上可得AP=PN=BN，因此AB=AP+PN+BN=3AP。
5. 代入AB=6，计算得AP=6÷3=2。
34. 如图所示，D,E,F分别是△ABC各边的中点，图中的平行四边形有个；与△DEF全等的三角形有个；当AB = AC时，四边形AEDF是形；当∠A = 90°时，四边形AEDF是形；当时，四边形AEDF是正方形。
答案
解：
根据三角形中位线的性质：
∵D,E,F分别是△ABC各边的中点，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=AF=BF$；
$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC=AE=CE$；
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC=BD=CD$。
1. 图中的平行四边形为$□ AEDF$、$□ BDEF$、$□ CDFE$，共$\boldsymbol{3}$个；
2. 可证$△ AEF≌△ DEF$，$△ BDF≌△ DEF$，$△ CDE≌△ DEF$，与$△ DEF$全等的三角形共$\boldsymbol{3}$个；
3. 当$AB=AC$时，$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，得$DE=DF$，又四边形$AEDF$是平行四边形，因此四边形$AEDF$是菱形；
4. 当$∠ A=90°$时，平行四边形$AEDF$有一个内角为直角，因此四边形$AEDF$是矩形；
5. 正方形需要同时满足邻边相等且有一个内角为直角，因此当$\boldsymbol{AB=AC且∠ A=90°}$时，四边形$AEDF$是正方形。
答案依次为：$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{3}$；菱；矩；$\boldsymbol{AB=AC且∠ A=90°}$（合理即可）。
根据三角形中位线的性质：
∵D,E,F分别是△ABC各边的中点，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB=AF=BF$；
$DF// AC$，$DF=\frac{1}{2}AC=AE=CE$；
$EF// BC$，$EF=\frac{1}{2}BC=BD=CD$。
1. 图中的平行四边形为$□ AEDF$、$□ BDEF$、$□ CDFE$，共$\boldsymbol{3}$个；
2. 可证$△ AEF≌△ DEF$，$△ BDF≌△ DEF$，$△ CDE≌△ DEF$，与$△ DEF$全等的三角形共$\boldsymbol{3}$个；
3. 当$AB=AC$时，$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，得$DE=DF$，又四边形$AEDF$是平行四边形，因此四边形$AEDF$是菱形；
4. 当$∠ A=90°$时，平行四边形$AEDF$有一个内角为直角，因此四边形$AEDF$是矩形；
5. 正方形需要同时满足邻边相等且有一个内角为直角，因此当$\boldsymbol{AB=AC且∠ A=90°}$时，四边形$AEDF$是正方形。
答案依次为：$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{3}$；菱；矩；$\boldsymbol{AB=AC且∠ A=90°}$（合理即可）。
35. 如图所示，P为$□ ABCD$边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，$△ PEF$，$△ PDC$，$△ PAB$的面积分别为$S$，$S_1$，$S_2$. 若$S=2$，则$S_1 + S_2 =$ .
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：
∵ E，F分别为PB，PC的中点，
∴ EF是△PBC的中位线，
∴ EF//BC，且$EF=\frac{1}{2}BC$，
∴ △PEF∽△PBC，相似比为$1:2$，
∴ $\frac{S_{△ PEF}}{S_{△ PBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵ $S=S_{△ PEF}=2$，
∴ $S_{△ PBC}=4×2=8$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $S_{△ PAB}+S_{△ PDC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，
又∵ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，
∴ $S_1+S_2=S_{△ PBC}=8$。
最终
∵ E，F分别为PB，PC的中点，
∴ EF是△PBC的中位线，
∴ EF//BC，且$EF=\frac{1}{2}BC$，
∴ △PEF∽△PBC，相似比为$1:2$，
∴ $\frac{S_{△ PEF}}{S_{△ PBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵ $S=S_{△ PEF}=2$，
∴ $S_{△ PBC}=4×2=8$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $S_{△ PAB}+S_{△ PDC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，
又∵ $S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}$，
∴ $S_1+S_2=S_{△ PBC}=8$。
最终
36. 如图所示,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$E$,$F$分别是$AB$,$AC$的中点,当$△ ABC$满足条件时,四边形$AEDF$是菱形.
答案
$\boldsymbol{AB=AC}$
解析
解：添加条件为$\boldsymbol{AB=AC}$（答案不唯一，等价条件均可），证明如下：
$\because AD⊥ BC$，E是AB的中点，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$DE=\frac{1}{2}AB=AE$。
同理可得，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$DF=\frac{1}{2}AC=AF$。
$\because AB=AC$，E、F分别是AB、AC的中点，
$\therefore AE=AF$，
$\therefore AE=ED=DF=AF$，
$\therefore$ 四边形$AEDF$的四条边相等，四边形$AEDF$是菱形。
最终
$\because AD⊥ BC$，E是AB的中点，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$DE=\frac{1}{2}AB=AE$。
同理可得，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$DF=\frac{1}{2}AC=AF$。
$\because AB=AC$，E、F分别是AB、AC的中点，
$\therefore AE=AF$，
$\therefore AE=ED=DF=AF$，
$\therefore$ 四边形$AEDF$的四条边相等，四边形$AEDF$是菱形。
最终
37. 如图所示,四边形ABCD的四条边都相等,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形,还需增加的一个条件是.
答案
解：
∵ 四边形ABCD的四条边都相等，
∴ 四边形ABCD是菱形。
根据正方形的判定，只需菱形满足对角线相等或存在一个内角为直角，即可成为正方形，符合要求的一个条件为：
$\boldsymbol{AC=BD}$（答案不唯一，也可填写$∠ ABC=90°$等合理条件）。
∵ 四边形ABCD的四条边都相等，
∴ 四边形ABCD是菱形。
根据正方形的判定，只需菱形满足对角线相等或存在一个内角为直角，即可成为正方形，符合要求的一个条件为：
$\boldsymbol{AC=BD}$（答案不唯一，也可填写$∠ ABC=90°$等合理条件）。
