【生活情境】我们知道某些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如，图1可以用来解释$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$. 实际上，利用卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.

【问题提出】（1）图2可以解释的代数恒等式是.
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图3），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为$2a^2+3ab+b^2$，并利用你所画的图形面积对$2a^2+3ab+b^2$进行因式分解.
【问题分析】先画出图形，再根据图形和矩形面积公式即可求出.
【问题解决】
【问题反思】本题考查了完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力.

（1）$2a^2+2ab=2a(a+b)$
（2）拼图见，$2a^2+3ab+b^2=(2a+b)(a+b)$

【分析】
（1）要确定图2对应的代数恒等式，可通过两种方法计算图2的面积：一是将图形分割为若干小正方形和小长方形，计算各部分面积之和；二是直接计算大长方形的面积，两个面积相等即可得到对应恒等式。
（2）要对$2a^2+3ab+b^2$因式分解，首先明确三类卡片的面积：1号卡片面积为$a^2$，2号卡片面积为$b^2$，3号卡片面积为$ab$，因此拼出面积为$2a^2+3ab+b^2$的矩形需要2张1号、1张2号、3张3号卡片。再根据卡片边长确定大矩形的长和宽，通过两种方法计算面积，即可得到因式分解的结果。
【解析】
（1）计算图2的面积：
① 分割计算：图2包含2个边长为$a$的正方形、2个长为$a$宽为$b$的长方形，总面积为$a^2+a^2+ab+ab=2a^2+2ab$；
② 整体计算：图2是长为$(a+b)$、宽为$2a$的大长方形，总面积为$2a(a+b)$。
因为同一图形面积相等，因此可得恒等式$2a^2+2ab=2a(a+b)$。
（2）根据面积$2a^2+3ab+b^2$，可知需要2张1号卡片、1张2号卡片、3张3号卡片，将其拼成长为$(2a+b)$、宽为$(a+b)$的矩形（拼图见）：
① 分割计算面积：各卡片面积和为$2a^2+3ab+b^2$；
② 整体计算面积：大矩形面积为$(2a+b)(a+b)$。
因此可得因式分解结果：$2a^2+3ab+b^2=(2a+b)(a+b)$。
【答案】
（1）$2a^2+2ab=2a(a+b)$
（2）拼图见，$2a^2+3ab+b^2=(2a+b)(a+b)$
【知识点】
因式分解，整式乘法，面积法验证代数恒等式
【点评】
本题以几何拼图为载体，将抽象的代数运算和直观的图形面积结合，体现了数形结合的数学思想，既考查了对整式乘法和因式分解互逆关系的理解，也考查了动手实践能力。
【难度系数】
0.7