例3 如图，在四边形ABCD中， $ ∠ A=∠ C $ ，AB//DC，求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 因为在四边形ABCD中，AB//DC，
所以 $ ∠ A+∠ D=1 8 0° $ $ ∠ B+∠ C=1 8 0°. $
又 $ ∠ A=∠ C $
所以 $ ∠ B=∠ D. $
所以四边形 ABCD是平行四边形.

证明：
∵ 在四边形ABCD中，AB//DC，
∴ ∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠B = ∠D（等角的补角相等）。
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）。

例4如图，在 $ \Box ABCD $中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且 $ A E / / C F $，求证： $ C E / / A F. $

证明连接AC交EF于点O，如图.

因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 AD//BC，AD=BC，OA=OC，OB=OD.
因为 AE//CF，所以 $ ∠ A E D=∠ C F B. $
因为 AD//BC，所以 $ ∠ A D B=∠ C B D. $
所以 $ ∠ E D A=∠ F B C. $
又 AD=BC，所以 $ △ A D E≌ △ C B F. $
所以 ED=FB.
因为 OB=OD，所以 OE=OF.
又 OA=OC，所以四边形 AFCE是平行四边形.
所以 CE//AF.

证明：连接AC交EF于点O，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以$AD// BC$，$AD=BC$，$OA=OC$，$OB=OD$。
因为$AE// CF$，所以$∠ AED=∠ CFB$。
因为$AD// BC$，所以$∠ ADB=∠ CBD$，
所以$∠ EDA=∠ FBC$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中，
$\begin{cases}∠ AED=∠ CFB \\∠ EDA=∠ FBC \\AD=BC\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CBF$（AAS）。
所以$ED=FB$。
因为$OB=OD$，
所以$OD+ED=OB+FB$，即$OE=OF$。
又因为$OA=OC$，
所以四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
所以$CE// AF$。