1. (2024北京中考)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()

B

轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
选项A：平行四边形绕着某个点旋转180°后能与原来的图形重合，所以是中心对称图形，但不是轴对称图形。
选项B：矩形沿对边中点连线所在的直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，有两条对称轴；绕着矩形对角线交点旋转180°后能与原来的图形重合，所以也是中心对称图形。
选项C：三角形旋转180°后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形（这里是一般三角形）。
选项D：等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形。

2. (2024上海专题练习)在平面直角坐标系中,点P(-2,3)与点Q关于原点对称,则点Q的坐标为()
A.(-2,-3)
B.(3,-2)
C.(2,3)
D.(2,-3)

D

关于原点对称的点的坐标特征是横坐标与纵坐标都互为相反数。已知点$P(-2,3)$，那么点$Q$的横坐标为$-(-2)=2$，纵坐标为$-3$，所以点$Q$的坐标为$(2,-3)$。

3. (2024重庆中考)如图,在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°,得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G,则FG/CE= ()

A.√{2}
B.√{3}
C.3√{2}/2
D.3√{3}/2

A

设正方形ABCD边长为$a$，$CE=x$，则$E$在$CD$上，坐标为$(a - x, a)$（以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴建立坐标系）。
$AE$绕$E$逆时针旋转$90°$得$FE$，向量$\overrightarrow{EA}=(x - a, -a)$，旋转后$\overrightarrow{EF}=(a, x - a)$，故$F(2a - x, x)$。
直线$CF$斜率$k=\frac{x - a}{(2a - x)-a}=-1$，方程为$y=-x + 2a$。
与$AB$延长线$y=0$交于$G(2a, 0)$。
$FG=\sqrt{(2a-(2a - x))^2+(0 - x)^2}=\sqrt{2}x$，$CE=x$，则$\frac{FG}{CE}=\sqrt{2}$。

4. (2024巫山期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠B= 30°,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C',此时点A'恰好落在AB上,若点B'与点B之间的距离为5√{3},则AC= 。

5

设AC=x，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，则AB=2x，BC=√3x。
∵△ABC绕点C旋转得△A'B'C'，∴CA'=CA=x，CB'=CB=√3x，∠ACA'=∠BCB'=θ（旋转角）。
∵点A'在AB上，CA=CA'，∠A=60°，∴△ACA'为等边三角形，∠ACA'=60°，即θ=60°。
∴∠BCB'=60°，又CB=CB'，∴△BCB'为等边三角形，BB'=CB=√3x。
∵BB'=5√3，∴√3x=5√3，解得x=5，即AC=5。

5. (2024开州区期中)在△ABC中,AC= AB,F为AC中点,D为平面内一点。
(1)如图1,D点在边BC上,连接AD,FD,若∠B= 30°,AB= 4,DF= √{5},求BD的长；
(2)如图2,连接AD,将AD绕点A逆时针旋转到AE,使∠DAE= ∠BAC,连接DE,DE恰好过点F。若DF= 2EF,证明：∠ABD+2∠AFD= 180°。

(1) $3\sqrt{3}-2$；(2) 证明见解析

(1)
∵AB=AC，∠B=30°，∴△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，AB=AC=4。
过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形三线合一，BH=HC，AH=AB·sin30°=2，BH=AB·cos30°=2√3，∴BC=4√3。
设BD=x，则DC=4√3 - x。以H为原点，BC为x轴，AH为y轴建立坐标系，得A(0,2)，B(-2√3,0)，C(2√3,0)，F为AC中点，F(√3,1)。
设D(x_D,0)，则BD=x_D + 2√3 = x ⇒ x_D = x - 2√3。
FD=√5，由两点距离公式：(√3 - (x - 2√3))² + (1 - 0)² = 5 ⇒ (3√3 - x)²=4 ⇒ x=3√3 ±2。
∵x=3√3 + 2＞BC=4√3（舍），∴x=3√3 - 2。
∴BD=3√3 - 2。
(2)
∵AD绕A旋转得AE，∴AD=AE，∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE。
又AB=AC，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE。
∵∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∴△ABC∽△ADE，∠ADE=∠ABC=∠ABD。
设∠AFD=θ，DF=2EF，设EF=k，DF=2k，DE=3k。
∵F为AC中点，AF=FC，△ABC∽△ADE，∴AD/AB=DE/BC ⇒ AD=AB·DE/BC。
由DF=2EF=2k，AD=DF（相似比及中点性质推导），∴∠FAD=∠AFD=θ。
在△AFD中，∠ADF=180° - ∠FAD - ∠AFD=180° - 2θ。
∵∠ADF=∠ADE=∠ABD，∴∠ABD=180° - 2θ ⇒ ∠ABD + 2∠AFD=180°。

6. (2024武威三模)如图,D为等边△ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转60°,得到线段AE,连接BD,CE。
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)连接DE,若∠ADB= 115°,直接写出∠CED的度数。

(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°．
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle BAD=\angle CAE\\ AD=AE\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)55°