【例 1】 若一个角与它的余角以及它的补角的和是直角的 $2\frac{1}{3}$ 倍,求比这个角的补角小 $17^{\circ}21'$ 的角.
思路分析：先求这个角,根据互为补角、互为余角及直角的定义,用含 $x$ 的式子表示它的补角、余角,通过解方程求出这个角,再求比这个角的补角小 $17^{\circ}21'$ 的角.
解：设这个角是 $x$,则它的余角是 $90^{\circ}-x$,它的补角是 $180^{\circ}-x$,根据题意得：
$x+(90^{\circ}-x)+(180^{\circ}-x)= 2\frac{1}{3}×90^{\circ}$,
解得 $x = 60^{\circ}$,则 $180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
所以 $120^{\circ}-17^{\circ}21'= 102^{\circ}39'$.
所以比这个角的补角小 $17^{\circ}21'$ 的角是 $102^{\circ}39'$.

解：设这个角是$x$，则它的余角是$90^{\circ}-x$，它的补角是$180^{\circ}-x$。
根据题意得：$x+(90^{\circ}-x)+(180^{\circ}-x)=2\frac{1}{3}×90^{\circ}$
化简方程：$x + 90^{\circ} - x + 180^{\circ} - x = \frac{7}{3}×90^{\circ}$
$270^{\circ} - x = 210^{\circ}$
解得：$x = 60^{\circ}$
这个角的补角为：$180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$
比这个角的补角小$17^{\circ}21'$的角是：$120^{\circ}-17^{\circ}21'=102^{\circ}39'$
答：比这个角的补角小$17^{\circ}21'$的角是$102^{\circ}39'$。

【例 2】 (1)如图 6 - 5①所示,已知线段 $AB$ 和 $CD$ 的公共部分 $BD= \frac{1}{3}AB= \frac{1}{4}CD$,线段 $AB$,$CD$ 的中点 $E$,$F$ 的距离是 $10cm$,求 $AB$,$CD$ 的长；

图 6 - 5
(2)如图 6 - 5②所示,将线段 $AB$ 延长到 $C$,使 $BC = 2AB$,$AB$ 的中点为 $D$,$E$,$F$ 是 $BC$ 上的点,且 $BE:EF = 1:2$,$EF:FC = 2:5$,$AC = 60cm$,求 $DE$,$DF$ 的长.
思路分析：本题主要考查利用方程对线段长度进行有关计算.
解：(1)设 $BD$ 的长为 $xcm$.
因为 $BD= \frac{1}{3}AB= \frac{1}{4}CD$,
所以 $AB = 3xcm$,$CD = 4xcm$.
因为 $E$,$F$ 分别为 $AB$,$DC$ 的中点,
所以 $BE= \frac{3}{2}xcm$,$DF = 2xcm$,
因为 $EF = BE + DF - BD$,
所以 $10= \frac{3}{2}x+2x - x$. 所以 $x = 4$.
所以 $AB = 12cm$,$CD = 16cm$.
(2)设 $BE$ 的长为 $xcm$.
因为 $BE:EF = 1:2$,$EF:FC = 2:5$,
所以 $EF = 2xcm$,$FC = 5xcm$.
所以 $BC = BE + EF + FC = 8x(cm)$.
因为 $BC = 2AB$,所以 $AB = 4xcm$.
因为 $AC = AB + BC$,
所以 $60 = 4x + 8x$. 所以 $x = 5$.
因为 $D$ 为 $AB$ 的中点,
所以 $BD= \frac{1}{2}AB = 2xcm$.
所以 $DE = DB + BE = 3x = 15(cm)$,
$DF = DE + EF = 5x = 25(cm)$.

(1)
设$BD = x cm$。
因为$BD=\frac{1}{3}AB = \frac{1}{4}CD$，所以$AB = 3x cm$，$CD = 4x cm$。
因为$E$，$F$分别为$AB$，$DC$的中点，所以$BE=\frac{3}{2}x cm$，$DF = 2x cm$。
因为$EF=BE + DF - BD$，所以$10=\frac{3}{2}x + 2x - x$，
即$\frac{3}{2}x+x = 10$，$\frac{5}{2}x = 10$，解得$x = 4$。
所以$AB = 12cm$，$CD = 16cm$。
(2)
设$BE$的长为$x cm$。
因为$BE:EF = 1:2$，$EF:FC = 2:5$，所以$EF = 2x cm$，$FC = 5x cm$。
所以$BC=BE + EF + FC = 8x cm$。
因为$BC = 2AB$，所以$AB = 4x cm$。
因为$AC = AB + BC$，所以$60 = 4x + 8x$，$12x = 60$，解得$x = 5$。
因为$D$为$AB$的中点，所以$BD=\frac{1}{2}AB = 2x cm$。
所以$DE=BD + BE = 3x = 15cm$，$DF = DE + EF = 5x = 25cm$。
综上，(1)中$AB$长$12cm$，$CD$长$16cm$；(2)中$DE$长$15cm$，$DF$长$25cm$。