【例 1】我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$ 15^{2}=225=1 × 2 × 100+25 ，$$ 25^{2}=625=2 × 3 × 100+25 ，$
$ 35^{2}=1225=3 × 4 × 100+25 。$
请根据上述规律填空：
(1) 55^{2}= _________ × 100+25= 。
(2) 75^{2}= _________ × 100+25= 。
(3) 95^{2}= _________ × 100+25= 。
【变式训练】
1. 如果将例 1 中两位数的十位数字设为 $ n $，请用含 $ n $ 的式子表示上面的规律，并用整式的运算证明该规律。
2. 对于个位数字是 5 的三位数、四位数也同样适用上述规律，请用此规律计算：
(1) 115^{2} ；(2) 205^{2} 。

1. （1）$55^{2}=5×6×100 + 25 = 3025$；
（2）$75^{2}=7×8×100 + 25 = 5625$；
（3）$95^{2}=9×10×100 + 25 = 9025$。
2. - 规律：$(10n + 5)^{2}=n(n + 1)×100+25$（$n$为正整数）。
证明：
解：
$(10n + 5)^{2}=(10n)^{2}+2×10n×5 + 5^{2}$
$=100n^{2}+100n + 25$
$=100n(n + 1)+25$。
（1）计算$115^{2}$：
解：
因为$115 = 10×11+5$，根据规律$(10n + 5)^{2}=n(n + 1)×100+25$（$n = 11$）。
则$115^{2}=11×12×100+25$
$=13200 + 25$
$=13225$。
（2）计算$205^{2}$：
解：
因为$205 = 10×20+5$，根据规律$(10n + 5)^{2}=n(n + 1)×100+25$（$n = 20$）。
则$205^{2}=20×21×100+25$
$=42000+25$
$=42025$。

【例 2】问题背景：
在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经密不可分，如用生日、连续数字等简单密码容易被破解，而密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了。
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。其原理是：将一个多项式分解因式，如把多项式 $ x^{3}-x $ 分解因式，结果为 $ x(x - 1)(x + 1) $，当 $ x = 10 $ 时，$ x - 1 = 9 $，$ x + 1 = 11 $，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码 091011。
实际应用：
(1)根据上述方法，小明同学设置了学校官网的登录密码：把多项式 $ x^{3}-xy^{2} $ 分解因式后利用 $ x,y $ 的数值设置密码，当 $ x = 9 $，$ y = 3 $ 时，请破解小明的密码；
(2)学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是 12，其中腰长和底长分别为不同的整数 $ x,y $，请你破解出把多项式 $ x^{3}-4xy^{2} $ 分解因式后得到的密码。

(1)9612；(2)519。