登录
1. 下列运算正确的是(
A.$2x^{2}y - 3xy^{2} = -x^{2}y$
B.$(4x^{8}y^{2}) ÷ (2x^{2}y^{2}) = 2x^{4}$
C.$(x - y)(-x - y) = x^{2} - y^{2}$
D.$(x^{2}y^{3})^{2} = x^{4}y^{6}$
D
)A.$2x^{2}y - 3xy^{2} = -x^{2}y$
B.$(4x^{8}y^{2}) ÷ (2x^{2}y^{2}) = 2x^{4}$
C.$(x - y)(-x - y) = x^{2} - y^{2}$
D.$(x^{2}y^{3})^{2} = x^{4}y^{6}$
答案
1.D 解析:2x²y与-3xy²不属于同类项，不能合并，故A项不符合题意；(4x⁸y²)÷(2x²y²)=2x⁶，故B项不符合题意；(x-y)(-x-y)=y²-x²，故C项不符合题意；(x²y³)²=x⁴y⁶，故D项符合题意.
2. 若$(a + 2)(a - 2) = 45$,则$a$的值为(
A.$\pm 7$
B.$\pm 3$
C.$7$
D.$3$
±7
)A.$\pm 7$
B.$\pm 3$
C.$7$
D.$3$
答案
2.A 解析:因为(a+2)(a-2)=45，所以a²-4=45，所以a²=49，解得a=±7.
3. 对于任意正整数$n$,能整除式子$(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)$的整数是(
A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$10$
D
)A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$10$
答案
3.D 解析:因为(3n+1)(3n-1)-(3-n)·(3+n)=(9n²-1)-(9-n²)=9n²-1-9+n²=10n²-10，所以该式子能被10整除.
4. 计算：$(a + b)(b - a) = $
b²-a²
。答案
4.b²-a² 解析:(a+b)(b-a)=(b+a)·(b-a)=b²-a².
解析
$(a + b)(b - a)=(b + a)(b - a)=b^{2}-a^{2}$
5. 若$(kx + 4)(kx - 4) = 25x^{2} - n$,则$k$的值是
±5
,$n$的值是16
。答案
5.±5 16 解析:因为(kx+4)(kx-4)=(kx)²-4²=k²x²-16=25x²-n，所以k²=25，-16=-n，解得k=±5，n=16.
解析
$(kx + 4)(kx - 4) = (kx)^2 - 4^2 = k^2x^2 - 16$，
因为$(kx + 4)(kx - 4) = 25x^2 - n$，
所以$k^2x^2 - 16 = 25x^2 - n$，
则$k^2 = 25$，$-16 = -n$，
解得$k = \pm 5$，$n = 16$。
±5；16
因为$(kx + 4)(kx - 4) = 25x^2 - n$，
所以$k^2x^2 - 16 = 25x^2 - n$，
则$k^2 = 25$，$-16 = -n$，
解得$k = \pm 5$，$n = 16$。
±5；16
6. 若$(a^{2} + b^{2} - 1)(a^{2} + b^{2} + 1) = 80$,则$a^{2} + b^{2} = $
9
。答案
6.9 解析:令a²+b²=t，则(a²+b²-1)(a²+b²+1)=(t-1)(t+1)=t²-1=80，所以t²=81，所以t=±9.因为t=a²+b²≥0，所以t=9，即a²+b²=9.
解析
令$t = a^{2} + b^{2}$，则$(a^{2} + b^{2} - 1)(a^{2} + b^{2} + 1)=(t - 1)(t + 1)=t^{2}-1$。
因为$(a^{2} + b^{2} - 1)(a^{2} + b^{2} + 1)=80$，所以$t^{2}-1 = 80$，即$t^{2}=81$，解得$t=\pm9$。
由于$t = a^{2} + b^{2}\geq0$，所以$t = 9$，即$a^{2} + b^{2}=9$。
9
因为$(a^{2} + b^{2} - 1)(a^{2} + b^{2} + 1)=80$，所以$t^{2}-1 = 80$，即$t^{2}=81$，解得$t=\pm9$。
由于$t = a^{2} + b^{2}\geq0$，所以$t = 9$，即$a^{2} + b^{2}=9$。
9
7. 已知$2a^{2} = 4 - 2a$,求代数式$(a + 2)(a - 2) + a(a + 2)$的值。
答案
7.解:因为2a²=4-2a，所以2a²+2a=4，所以原式=(a²-4)+(a²+2a)=2a²+2a-4=4-4=0.
解析
解:因为$2a^{2}=4 - 2a$，所以$2a^{2}+2a=4$。
原式$=(a + 2)(a - 2)+a(a + 2)$
$=a^{2}-4+a^{2}+2a$
$=2a^{2}+2a - 4$
$=4 - 4$
$=0$
原式$=(a + 2)(a - 2)+a(a + 2)$
$=a^{2}-4+a^{2}+2a$
$=2a^{2}+2a - 4$
$=4 - 4$
$=0$
8. 利用平方差公式计算：
(1) $3000^{2} - 2998 × 3002$。
(2) $-19\frac{7}{9} × 20\frac{2}{9}$。
(1) $3000^{2} - 2998 × 3002$。
(2) $-19\frac{7}{9} × 20\frac{2}{9}$。
答案
8.解:
(1)原式=3000²-(3000-2)×(3000+2)=3000²-(3000²-4)=4.
(2)原式$=-\left(20-\dfrac{2}{9}\right)×\left(20+\dfrac{2}{9}\right)=-\left[20^{2}-\left(\dfrac{2}{9}\right)^{2}\right]=-400+\dfrac{4}{81}=-399\dfrac{77}{81}.$
(1)原式=3000²-(3000-2)×(3000+2)=3000²-(3000²-4)=4.
(2)原式$=-\left(20-\dfrac{2}{9}\right)×\left(20+\dfrac{2}{9}\right)=-\left[20^{2}-\left(\dfrac{2}{9}\right)^{2}\right]=-400+\dfrac{4}{81}=-399\dfrac{77}{81}.$
9. (阅读理解题)先阅读材料,再解决问题。
小亮同学遇到了下面一个作业题：
计算：$(2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1)$。
经过观察,小亮发现若将原式进行适当的变形会出现特殊的结构,进而可应用平方差公式解决问题,具体解法如下：
$(2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1)$
$= (2 - 1) × (2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1)$
$= (2^{2} - 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1)$
$= (2^{4} - 1) × (2^{4} + 1)$
$= 2^{8} - 1$。
请根据小亮的方法,试着解决以下问题：
(1) 计算：$(2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1) × (2^{8} + 1) × (2^{16} + 1)$；
(2) 计算：$(3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1)$。
小亮同学遇到了下面一个作业题：
计算：$(2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1)$。
经过观察,小亮发现若将原式进行适当的变形会出现特殊的结构,进而可应用平方差公式解决问题,具体解法如下：
$(2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1)$
$= (2 - 1) × (2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1)$
$= (2^{2} - 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1)$
$= (2^{4} - 1) × (2^{4} + 1)$
$= 2^{8} - 1$。
请根据小亮的方法,试着解决以下问题：
(1) 计算：$(2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1) × (2^{8} + 1) × (2^{16} + 1)$；
(2) 计算：$(3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1)$。
答案
9.解$:(1)(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)=(2-1)×(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)=(2²-1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)=(2⁴-1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)=(2⁸-1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)=(2¹⁶-1)×(2¹⁶+1)=2³²-1.(2)(3+1)×(3²+1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)×(3¹⁶+1)=\dfrac{1}{2}×2×(3+1)×(3²+1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)×(3¹⁶+1)=\dfrac{1}{2}×(3-1)×(3+1)×(3²+1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)×(3¹⁶+1)=\dfrac{1}{2}×(3²-1)×(3²+1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)×(3¹⁶+1)=\dfrac{1}{2}×(3⁴-1)×(3⁴+1)×(3⁸+1)×(3¹⁶+1)=\dfrac{1}{2}×(3⁸-1)×(3⁸+1)×(3¹⁶+1)=\dfrac{1}{2}×(3¹⁶-1)×(3¹⁶+1)=\dfrac{3^{32}-1}{2}.$
解析
(1)$(2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1) × (2^{8} + 1) × (2^{16} + 1)$
$=(2 - 1)×(2 + 1) × (2^{2} + 1) × (2^{4} + 1) × (2^{8} + 1) × (2^{16} + 1)$
$=(2^{2} - 1)×(2^{2} + 1) × (2^{4} + 1) × (2^{8} + 1) × (2^{16} + 1)$
$=(2^{4} - 1)×(2^{4} + 1) × (2^{8} + 1) × (2^{16} + 1)$
$=(2^{8} - 1)×(2^{8} + 1) × (2^{16} + 1)$
$=(2^{16} - 1)×(2^{16} + 1)$
$=2^{32} - 1$
(2)$(3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1)$
$=\dfrac{1}{2}×2×(3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1)$
$=\dfrac{1}{2}×(3 - 1)×(3 + 1) × (3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1)$
$=\dfrac{1}{2}×(3^{2} - 1)×(3^{2} + 1) × (3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1)$
$=\dfrac{1}{2}×(3^{4} - 1)×(3^{4} + 1) × (3^{8} + 1) × (3^{16} + 1)$
$=\dfrac{1}{2}×(3^{8} - 1)×(3^{8} + 1) × (3^{16} + 1)$
$=\dfrac{1}{2}×(3^{16} - 1)×(3^{16} + 1)$
$=\dfrac{3^{32} - 1}{2}$
