5. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$BD是\triangle ABC$的中线,$EF是BC$边的垂直平分线,且$BD与EF相交于点G$,连接$AG$,$CG$,若四边形$CDGE与四边形ACEG$的面积分别为7和11,则$\triangle ABC$的面积为()

A.18
B.20
C.22
D.36

B

∵BD是△ABC中线，∴D为AC中点，AD=DC。
∵EF是BC垂直平分线，∴E为BC中点，BE=EC，且GB=GC，S△GBE=S△GCE。
四边形ACEG面积=11，四边形CDGE面积=7，两者差为△ADG面积，即S△ADG=11-7=4。
∵AD=DC，△ADG与△DGC同高，∴S△DGC=S△ADG=4。
四边形CDGE面积=S△DGC+S△GCE=7，∴4+S△GCE=7，得S△GCE=3。
由EF垂直平分BC，知S△GBE=S△GCE=3，故S△BGC=S△GBE+S△GCE=6。
△BDC面积=S△BGC+S△DGC=6+4=10。
∵BD是中线，∴△ABC面积=2×S△BDC=2×10=20。

6. 如图所示,线段$BE与线段AC$互相垂直平分,相交于点$D$,若$\angle E = 26^{\circ}$,则$\angle ABC= $.

$52^{\circ}$（此处按题目要求应填数值，原题目要求是填空形式，按此格式给出数值答案）

因为线段$BE$与线段$AC$互相垂直平分，所以三角形$ABC$是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形的一部分，此处实际为形成的两三角形对称等相关性质应用），即$AB = BC$，$AD=DC$，$BD = BE$（此处BD为B到AC与BE交点D的线段，整体说明三角形对称性）。
已知$\angle E=26^{\circ}$，在直角三角形$ADE$中，$\angle EDA = 90^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle DAE=90^{\circ}-\angle E = 90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}$。
因为$BE$垂直平分$AC$，所以$AB = BC$（垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等），那么$\triangle ABC$是等腰三角形。
又因为$\angle BAD=\angle DAE = 64^{\circ}$（垂直平分线与对称性），在$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle BAD = 64^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle ABD=90^{\circ}-\angle BAD = 90^{\circ}-64^{\circ}=26^{\circ}$。
所以$\angle ABC = 2\angle ABD=52^{\circ}$（等腰三角形三线合一相关，垂直平分线也是顶角平分线）。

7. (2024·大庆)如图所示,线段$AB$,$BC的垂直平分线l_1$,$l_2相交于点O$.若$\angle 1 = 39^{\circ}$,则$\angle AOC= $.

78°

连接OB，∵l₁是AB的垂直平分线，∴OA=OB，l₁平分∠AOB，设∠AOB=2α；∵l₂是BC的垂直平分线，∴OB=OC，l₂平分∠BOC，设∠BOC=2β。l₁与l₂交于点O，∠1=39°为其夹角，则α+β=180°-39°=141°。∠AOB+∠BOC=2α+2β=2(α+β)=2×141°=282°。在点O处，∠AOC=360°-(∠AOB+∠BOC)=360°-282°=78°。

8. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 36^{\circ}$,$\angle B = 72^{\circ}$,$CD平分\angle ACB$,$DE// AC$,则图中共有等腰三角形()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

D

在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，则∠ACB=180°-36°-72°=72°，∠B=∠ACB，故△ABC是等腰三角形；
CD平分∠ACB，∠ACB=72°，则∠ACD=∠BCD=36°；
在△ACD中，∠A=∠ACD=36°，故△ACD是等腰三角形；
在△BCD中，∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-72°-36°=72°，∠B=∠BDC，故△BCD是等腰三角形；
DE//AC，∠EDB=∠A=36°（同位角），∠CDE=∠ACD=36°（内错角）；
在△BDE中，∠BED=180°-∠B-∠EDB=180°-72°-36°=72°，∠B=∠BED，故△BDE是等腰三角形；
在△CDE中，∠DCE=∠BCD=36°，∠CDE=36°，∠DCE=∠CDE，故△CDE是等腰三角形；
综上，共有5个等腰三角形。

9. 如图所示,$\triangle ABC内有一点D$,且$DA = DB = DC$.若$\angle DAB = 20^{\circ}$,$\angle DAC = 30^{\circ}$,则$\angle BDC$的大小是()

A.$100^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

A

因为$DA = DB = DC$，所以点$D$是$\triangle ABC$外接圆的圆心（到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，三角形外接圆的圆心是三角形的外心）。
根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，$\angle BDC$是弧$BC$所对的圆心角，$\angle BAC$是弧$BC$所对的圆周角，$\angle BAC=\angle DAB+\angle DAC = 20^{\circ}+30^{\circ}=50^{\circ}$。
所以$\angle BDC = 2\angle BAC=100^{\circ}$。

10. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD\perp BC于点D$,$DE\perp AB于点E$,$BF\perp AC于点F$,$DE = 3cm$,则$BF = $$cm$.

6

因为$AB=AC$，$AD\perp BC$，所以$AD$是$\triangle ABC$的中线（三线合一），即$BD=CD$。
$\triangle ABD$的面积为$\frac{1}{2}AB× DE=\frac{1}{2}AB×3=\frac{3}{2}AB$。
$\triangle ABC$的面积是$\triangle ABD$面积的2倍，即$2×\frac{3}{2}AB=3AB$。
又因为$\triangle ABC$的面积也可表示为$\frac{1}{2}AC× BF$，且$AC=AB$，所以$\frac{1}{2}AB× BF=3AB$，解得$BF=6$。

11. 如图所示,在正方形$ABCD的外侧作等边三角形ADE$,则$\angle BED = $度.

45

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE=DE，∠DAE=∠AED=60°．
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°．
在△ABE中，AB=AE，∴∠AEB=∠ABE=(180°-∠BAE)/2=(180°-150°)/2=15°．
∵∠AED=60°，∴∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°．

12. (2025·广元)如图所示,$\triangle ABC$是等边三角形,$D为边BC$的中点,$BE\perp AB交AD的延长线于点E$,点$F在AE$上,且$AF = BE$,连接$CF$,$CE$.
求证：(1)$\angle CAF = \angle CBE$；
(2)$\triangle CEF$是等边三角形.

∵△ABC 是等边三角形，D 为 BC 中点，
∴AC = BC，∠BAC = 60°。
∠ADC = 90°（等边三角形三线合一性质），
∵BE⊥AB，
∴∠ABE = 90°。
又∵∠CAD +∠ACD= 90°，∠CBE +∠ABD = 90°，且∠ACD =∠ABD = 60°，
∴∠CAD = 30°，∠CBE = 30°，
∴∠CAF =∠CBE。
由（1）可知∠CAF =∠CBE，AC = BC，
在△CAF 和△CBE 中
$\begin{cases}AC = BC,\\\angle CAF =\angle CBE,\\AF = BE.\end{cases}$
∴△CAF ≌△CBE（SAS）。
∴CE = CF，∠ACF =∠BCE。
∵∠ACB = 60°，即∠ACE +∠BCE= 60°，
∴∠ACE +∠ACF = 60°，即∠FCE = 60°，
∴△CEF 是等边三角形。