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6. (2025·雅安)计算$(1 - 3)^{0}$的结果是 (
A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$4$
C
)A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$4$
答案
C
解析
根据零指数幂的定义，对于任何非零数$a$，有$a^{0}=1$。
在$(1 - 3)^{0}$中，先计算括号内的值$1 - 3=-2$，因为$-2\neq0$，所以$(-2)^{0}=1$。
在$(1 - 3)^{0}$中，先计算括号内的值$1 - 3=-2$，因为$-2\neq0$，所以$(-2)^{0}=1$。
7. 已知$a = (-\frac{1}{2})^{0}$,$b = -3^{2}$,$c = (-2)^{2}$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为 (
A.$c ＜ b ＜ a$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$
C
)A.$c ＜ b ＜ a$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$
答案
C
解析
首先计算 $a$，$b$，$c$的值：
$a = (-\frac{1}{2})^{0} = 1$，任何非零数的0次方都为1。
$b = -3^{2} = -9$，注意负号在平方运算之外。
$c = (-2)^{2} = 4$，负数的平方为正数。
然后比较这三个数的大小：
$-9 ＜ 1 ＜ 4$，
即 $b ＜ a ＜ c$。
$a = (-\frac{1}{2})^{0} = 1$，任何非零数的0次方都为1。
$b = -3^{2} = -9$，注意负号在平方运算之外。
$c = (-2)^{2} = 4$，负数的平方为正数。
然后比较这三个数的大小：
$-9 ＜ 1 ＜ 4$，
即 $b ＜ a ＜ c$。
8. 若$(x - 3)^{0} = 1$有意义,则$x$的取值范围是
$x \neq 3$（或写成$x$的取值范围是所有实数除了3）
。答案
$x \neq 3$（或写成$x$的取值范围是所有实数除了3）
解析
根据零指数幂的定义，当$a \neq 0$时，$a^0 = 1$。因此，要使$(x - 3)^0 = 1$有意义，必须满足$x - 3 \neq 0$，即$x \neq 3$。
1. 下列计算正确的是 (
A.$5a - a = 5$
B.$10^{5} ÷ 10^{2} = 100$
C.$(2a^{2})^{3} = 6a^{6}$
D.$a^{6} ÷ a^{2} = a^{4}$
D
)A.$5a - a = 5$
B.$10^{5} ÷ 10^{2} = 100$
C.$(2a^{2})^{3} = 6a^{6}$
D.$a^{6} ÷ a^{2} = a^{4}$
答案
D
解析
A. $5a - a$
根据合并同类项的规则，$5a - a = 4a$，与选项中的$5$不符，故A错误。
B. $10^{5} ÷ 10^{2}$
根据同底数幂的除法规则，$10^{5} ÷ 10^{2} = 10^{5-2} = 10^{3} = 1000$，与选项中的$100$不符，故B错误。
C. $(2a^{2})^{3}$
根据幂的乘方与积的乘方规则，$(2a^{2})^{3} = 2^{3} × (a^{2})^{3} = 8a^{6}$，与选项中的$6a^{6}$不符，故C错误。
D. $a^{6} ÷ a^{2}$
根据同底数幂的除法规则，$a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$，与选项中的$a^{4}$相符，故D正确。
根据合并同类项的规则，$5a - a = 4a$，与选项中的$5$不符，故A错误。
B. $10^{5} ÷ 10^{2}$
根据同底数幂的除法规则，$10^{5} ÷ 10^{2} = 10^{5-2} = 10^{3} = 1000$，与选项中的$100$不符，故B错误。
C. $(2a^{2})^{3}$
根据幂的乘方与积的乘方规则，$(2a^{2})^{3} = 2^{3} × (a^{2})^{3} = 8a^{6}$，与选项中的$6a^{6}$不符，故C错误。
D. $a^{6} ÷ a^{2}$
根据同底数幂的除法规则，$a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$，与选项中的$a^{4}$相符，故D正确。
2. 下列计算正确的是 (
A.$x^{10} ÷ (x^{7} ÷ x^{2}) = x^{5}$
B.$(xy)^{8} ÷ (xy)^{4} = (xy)^{2}$
C.$x^{4n} ÷ x^{2n} \cdot x^{2n} = 1$
D.$x^{2(m + 1)} ÷ x^{m + 1} = x^{2}$
A
)A.$x^{10} ÷ (x^{7} ÷ x^{2}) = x^{5}$
B.$(xy)^{8} ÷ (xy)^{4} = (xy)^{2}$
C.$x^{4n} ÷ x^{2n} \cdot x^{2n} = 1$
D.$x^{2(m + 1)} ÷ x^{m + 1} = x^{2}$
答案
A
解析
A. 根据同底数幂的除法法则，有：
$x^{10} ÷ (x^{7} ÷ x^{2}) = x^{10} ÷ x^{5} = x^{5}$，
与选项A中的等式一致，所以A选项正确。
B. 根据同底数幂的除法法则，有：
$(xy)^{8} ÷ (xy)^{4} = (xy)^{4}$，
与选项B中的等式不一致，所以B选项错误。
C. 根据同底数幂的除法与乘法法则，有：
$x^{4n} ÷ x^{2n} \cdot x^{2n} = x^{2n} \cdot x^{2n} = x^{4n}$，
与选项C中的等式不一致，所以C选项错误。
D. 根据同底数幂的除法法则，有：
$x^{2(m + 1)} ÷ x^{m + 1} = x^{m + 1}$的（$2-1$次方，即$x^{m + 1}$），
与选项D中的等式不一致，所以D选项错误。
$x^{10} ÷ (x^{7} ÷ x^{2}) = x^{10} ÷ x^{5} = x^{5}$，
与选项A中的等式一致，所以A选项正确。
B. 根据同底数幂的除法法则，有：
$(xy)^{8} ÷ (xy)^{4} = (xy)^{4}$，
与选项B中的等式不一致，所以B选项错误。
C. 根据同底数幂的除法与乘法法则，有：
$x^{4n} ÷ x^{2n} \cdot x^{2n} = x^{2n} \cdot x^{2n} = x^{4n}$，
与选项C中的等式不一致，所以C选项错误。
D. 根据同底数幂的除法法则，有：
$x^{2(m + 1)} ÷ x^{m + 1} = x^{m + 1}$的（$2-1$次方，即$x^{m + 1}$），
与选项D中的等式不一致，所以D选项错误。
3. 若$a^{3} \cdot a^{m} = a^{5} ÷ a^{n}$,则$m与n$之间的关系是 (
A.$m + n = -2$
B.$m + n = 2$
C.$mn = \frac{5}{3}$
D.$mn = 15$
B
)A.$m + n = -2$
B.$m + n = 2$
C.$mn = \frac{5}{3}$
D.$mn = 15$
答案
B
解析
根据题意，有 $a^{3} \cdot a^{m} = a^{5} ÷ a^{n}$。
应用同底数幂的乘法法则，左边可以化简为 $a^{3+m}$。
应用同底数幂的除法法则，右边可以化简为 $a^{5-n}$。
由于两边底数相同，指数也必须相同，即 $3 + m = 5 - n$。
整理得到 $m + n = 2$。
应用同底数幂的乘法法则，左边可以化简为 $a^{3+m}$。
应用同底数幂的除法法则，右边可以化简为 $a^{5-n}$。
由于两边底数相同，指数也必须相同，即 $3 + m = 5 - n$。
整理得到 $m + n = 2$。
4. 计算：
(1) $x^{7} ÷ x^{4} = $
(2) $a^{6} ÷ a^{2} = $
(3) $a^{5} ÷ a^{2} ÷ a = $
(4) $(a^{n})^{2} ÷ a^{2} = $
(1) $x^{7} ÷ x^{4} = $
$x^{3}$
；(2) $a^{6} ÷ a^{2} = $
$a^{4}$
；(3) $a^{5} ÷ a^{2} ÷ a = $
$a^{2}$
；(4) $(a^{n})^{2} ÷ a^{2} = $
$a^{2n - 2}$
。答案
(1) $x^{3}$；
(2) $a^{4}$；
(3) $a^{2}$；
(4) $a^{2n - 2}$。
(2) $a^{4}$；
(3) $a^{2}$；
(4) $a^{2n - 2}$。
解析
(1) 根据同底数幂的除法法则，$x^{7} ÷ x^{4} = x^{7-4} = x^{3}$；
(2) 根据同底数幂的除法法则，$a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$；
(3) 根据同底数幂的连续除法，$a^{5} ÷ a^{2} ÷ a = a^{5-2} ÷ a = a^{3} ÷ a = a^{3-1} = a^{2}$；
(4) 首先根据幂的乘方，$(a^{n})^{2} = a^{2n}$，再根据同底数幂的除法，$a^{2n} ÷ a^{2} = a^{2n-2}$。
(2) 根据同底数幂的除法法则，$a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$；
(3) 根据同底数幂的连续除法，$a^{5} ÷ a^{2} ÷ a = a^{5-2} ÷ a = a^{3} ÷ a = a^{3-1} = a^{2}$；
(4) 首先根据幂的乘方，$(a^{n})^{2} = a^{2n}$，再根据同底数幂的除法，$a^{2n} ÷ a^{2} = a^{2n-2}$。
5. 若$x - y = 2$,则$3^{x} ÷ 3^{y}$的值为
9
。答案
9
解析
因为同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以$3^{x} ÷ 3^{y} = 3^{x - y}$。已知$x - y = 2$，则$3^{x - y} = 3^{2} = 9$。
6. (1) 若$3^{x} = 9$,$3^{y} = 81$,则$3^{2x - y}$的值是
(2) (2024·重庆)已知$2^{m} = 3$,$32^{n} = 5$,则$2^{2m - 5n} = $
1
。(2) (2024·重庆)已知$2^{m} = 3$,$32^{n} = 5$,则$2^{2m - 5n} = $
$\frac{9}{5}$
。答案
(1)$1$；(2)$\frac{9}{5}$
解析
(1)
首先根据已知条件$3^{x}=9$，因为$9 = 3^{2}$，所以$x = 2$；
又因为$3^{y}=81$，$81 = 3^{4}$，所以$y = 4$。
根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0)$以及幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}(a\neq0)$，对$3^{2x - y}$进行变形可得$3^{2x - y}=3^{2x}÷3^{y}=(3^{x})^{2}÷3^{y}$。
把$x = 2$，$y = 4$代入$(3^{x})^{2}÷3^{y}$可得：$(3^{2})^{2}÷3^{4}=9^{2}÷81 = 81÷81=1$。
(2)
根据幂的乘方法则，因为$32^{n}=(2^{5})^{n}=2^{5n}$。
根据同底数幂的除法法则，对$2^{2m - 5n}$进行变形可得$2^{2m - 5n}=2^{2m}÷2^{5n}=(2^{m})^{2}÷2^{5n}$。
已知$2^{m}=3$，$32^{n}=2^{5n}=5$，代入$(2^{m})^{2}÷2^{5n}$可得：$3^{2}÷5=\frac{9}{5}$。
首先根据已知条件$3^{x}=9$，因为$9 = 3^{2}$，所以$x = 2$；
又因为$3^{y}=81$，$81 = 3^{4}$，所以$y = 4$。
根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0)$以及幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}(a\neq0)$，对$3^{2x - y}$进行变形可得$3^{2x - y}=3^{2x}÷3^{y}=(3^{x})^{2}÷3^{y}$。
把$x = 2$，$y = 4$代入$(3^{x})^{2}÷3^{y}$可得：$(3^{2})^{2}÷3^{4}=9^{2}÷81 = 81÷81=1$。
(2)
根据幂的乘方法则，因为$32^{n}=(2^{5})^{n}=2^{5n}$。
根据同底数幂的除法法则，对$2^{2m - 5n}$进行变形可得$2^{2m - 5n}=2^{2m}÷2^{5n}=(2^{m})^{2}÷2^{5n}$。
已知$2^{m}=3$，$32^{n}=2^{5n}=5$，代入$(2^{m})^{2}÷2^{5n}$可得：$3^{2}÷5=\frac{9}{5}$。
7. 计算：$(-1)^{2} + (\frac{1}{3})^{0} = $
2
。答案
$2$
解析
首先计算$(-1)^{2}$，由于负数的偶次幂为正，所以$(-1)^{2} = 1$。
接着计算$(\frac{1}{3})^{0}$，任何非零数的0次幂都为1，所以$(\frac{1}{3})^{0} = 1$。
最后，将两部分相加，即$1 + 1 = 2$。
接着计算$(\frac{1}{3})^{0}$，任何非零数的0次幂都为1，所以$(\frac{1}{3})^{0} = 1$。
最后，将两部分相加，即$1 + 1 = 2$。
8. (1) 若$(3m - 2)^{0} = 1$有意义,则$m$的取值范围是
(2) 若$\vert a \vert - 2 = (a - 3)^{0}$,则$a = $
$m \neq \frac{2}{3}$
。(2) 若$\vert a \vert - 2 = (a - 3)^{0}$,则$a = $
$-3$
。答案
(1) $m \neq \frac{2}{3}$；(2) $-3$。
解析
(1) 对于$(3m - 2)^{0} = 1$，根据零指数幂的定义，底数不能为0，即：$3m - 2 \neq 0$，
解这个不等式，得到：$m \neq \frac{2}{3}$，
所以，$m$的取值范围是$m \neq \frac{2}{3}$。
(2)
根据$(a - 3)^{0} = 1$（$a-3\neq0$），可得：
$\vert a \vert - 2 = 1$，
即$\vert a \vert = 3$，
所以$a$可以是3或-3，
但由于$a-3\neq0$，所以$a$不能为3，
因此$a = -3$，
但题目要求等式成立，经检验，$a = - 3$时，等式左边=1，等式右边=$1$，满足题意。
所以$a = - 3$。
解这个不等式，得到：$m \neq \frac{2}{3}$，
所以，$m$的取值范围是$m \neq \frac{2}{3}$。
(2)
根据$(a - 3)^{0} = 1$（$a-3\neq0$），可得：
$\vert a \vert - 2 = 1$，
即$\vert a \vert = 3$，
所以$a$可以是3或-3，
但由于$a-3\neq0$，所以$a$不能为3，
因此$a = -3$，
但题目要求等式成立，经检验，$a = - 3$时，等式左边=1，等式右边=$1$，满足题意。
所以$a = - 3$。
9. 计算：
(1) $a^{5} \cdot a^{2} + a^{6} ÷ a - a^{3} \cdot a^{4}$；
(2) $a \cdot a^{2} + (-a)^{5} ÷ a^{2} - 3a^{3}$。
(1) $a^{5} \cdot a^{2} + a^{6} ÷ a - a^{3} \cdot a^{4}$；
(2) $a \cdot a^{2} + (-a)^{5} ÷ a^{2} - 3a^{3}$。
答案
(1)
$a^{5} \cdot a^{2}=a^{5 + 2}=a^{7}$；
$a^{6}÷ a=a^{6 - 1}=a^{5}$；
$a^{3} \cdot a^{4}=a^{3+4}=a^{7}$。
则$a^{5} \cdot a^{2} + a^{6} ÷ a - a^{3} \cdot a^{4}=a^{7}+a^{5}-a^{7}=a^{5}$。
(2)
$a\cdot a^{2}=a^{1 + 2}=a^{3}$；
$(-a)^{5}÷ a^{2}=(-a^{5})÷ a^{2}=-a^{5 - 2}=-a^{3}$。
则$a \cdot a^{2} + (-a)^{5} ÷ a^{2} - 3a^{3}=a^{3}-a^{3}-3a^{3}=-3a^{3}$。
$a^{5} \cdot a^{2}=a^{5 + 2}=a^{7}$；
$a^{6}÷ a=a^{6 - 1}=a^{5}$；
$a^{3} \cdot a^{4}=a^{3+4}=a^{7}$。
则$a^{5} \cdot a^{2} + a^{6} ÷ a - a^{3} \cdot a^{4}=a^{7}+a^{5}-a^{7}=a^{5}$。
(2)
$a\cdot a^{2}=a^{1 + 2}=a^{3}$；
$(-a)^{5}÷ a^{2}=(-a^{5})÷ a^{2}=-a^{5 - 2}=-a^{3}$。
则$a \cdot a^{2} + (-a)^{5} ÷ a^{2} - 3a^{3}=a^{3}-a^{3}-3a^{3}=-3a^{3}$。
10. 计算：
(1) $(x^{4})^{3} ÷ (-x^{2})^{3} ÷ (-x)^{3}$；
(2) $(a - b)^{5} ÷ (b - a)^{2}$。
(1) $(x^{4})^{3} ÷ (-x^{2})^{3} ÷ (-x)^{3}$；
(2) $(a - b)^{5} ÷ (b - a)^{2}$。
答案
(1)
首先，根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，
可得$(x^{4})^{3}=x^{4×3}=x^{12}$，$(-x^{2})^{3}=(-1)^3×(x^{2})^{3}=-x^{6}$，$(-x)^{3}=(-1)^3× x^{3}=-x^{3}$。
则原式可化为：
$x^{12}÷(-x^{6})÷(-x^{3})$
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n = a^{m - n}(a\neq0,m,n\in Z,m\gt n)$，
$x^{12}÷(-x^{6})=-x^{12 - 6}=-x^{6}$，
$-x^{6}÷(-x^{3})=x^{6 - 3}=x^{3}$。
(2)
因为$(b - a)^{2}=[-(a - b)]^{2}=(a - b)^{2}$，
根据同底数幂的除法法则，$(a - b)^{5}÷(b - a)^{2}=(a - b)^{5}÷(a - b)^{2}=(a - b)^{5 - 2}=(a - b)^{3}$。
综上，答案依次为：(1)$x^{3}$；(2)$(a - b)^{3}$。
首先，根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，
可得$(x^{4})^{3}=x^{4×3}=x^{12}$，$(-x^{2})^{3}=(-1)^3×(x^{2})^{3}=-x^{6}$，$(-x)^{3}=(-1)^3× x^{3}=-x^{3}$。
则原式可化为：
$x^{12}÷(-x^{6})÷(-x^{3})$
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n = a^{m - n}(a\neq0,m,n\in Z,m\gt n)$，
$x^{12}÷(-x^{6})=-x^{12 - 6}=-x^{6}$，
$-x^{6}÷(-x^{3})=x^{6 - 3}=x^{3}$。
(2)
因为$(b - a)^{2}=[-(a - b)]^{2}=(a - b)^{2}$，
根据同底数幂的除法法则，$(a - b)^{5}÷(b - a)^{2}=(a - b)^{5}÷(a - b)^{2}=(a - b)^{5 - 2}=(a - b)^{3}$。
综上，答案依次为：(1)$x^{3}$；(2)$(a - b)^{3}$。
