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【例 2】如图所示,点$P在线段AB$的垂直平分线上,$PC\perp PA$,$PD\perp PB$,$AC = BD$.
求证：点$P在线段CD$的垂直平分线上.
求证：点$P在线段CD$的垂直平分线上.
答案
连接$PD$、$PA$、$PB$（点$P$已连接）。
因为点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，所以$PA = PB$。
因为$PC\perp PA$，$PD\perp PB$，所以$\angle APC=\angle BPD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle APC$和$Rt\triangle BPD$中，$PA = PB$，$AC = BD$。
根据“HL”定理，$Rt\triangle APC\cong Rt\triangle BPD$，所以$PC = PD$。
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因为$PC = PD$，所以点$P$在线段$CD$的垂直平分线上。
因为点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，所以$PA = PB$。
因为$PC\perp PA$，$PD\perp PB$，所以$\angle APC=\angle BPD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle APC$和$Rt\triangle BPD$中，$PA = PB$，$AC = BD$。
根据“HL”定理，$Rt\triangle APC\cong Rt\triangle BPD$，所以$PC = PD$。
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因为$PC = PD$，所以点$P$在线段$CD$的垂直平分线上。
线段垂直平分线的判定可以证明一个点在一条直线上,进而也可为证明直线的垂直关系提供依据.
答案
假设题目为：若点$P$满足到线段两端点距离相等，证明线段的垂直平分线过点$P$，且若过点$P$作一直线与该线段相交，证明该直线垂直该线段时，该直线为线段垂直平分线。
答题卡作答：
证明：
设线段为$AB$，点$P$满足$PA = PB$。
根据线段的垂直平分线性质，若一点到线段两端点距离相等，则该点位于线段的垂直平分线上。
因此，点$P$位于线段$AB$的垂直平分线上，即线段$AB$的垂直平分线过点$P$。
设过点$P$的直线与线段$AB$相交于点$C$，且$PC \perp AB$。
由于$PA = PB$，$PC$为公共边，且$\angle PCA = \angle PCB = 90°$。
根据三角形的全等性质，$\triangle PCA \cong \triangle PCB$（HL）。
因此，$AC = BC$，即直线$PC$为线段$AB$的垂直平分线。
结论：线段$AB$的垂直平分线过点$P$，且直线$PC$为线段$AB$的垂直平分线。
答题卡作答：
证明：
设线段为$AB$，点$P$满足$PA = PB$。
根据线段的垂直平分线性质，若一点到线段两端点距离相等，则该点位于线段的垂直平分线上。
因此，点$P$位于线段$AB$的垂直平分线上，即线段$AB$的垂直平分线过点$P$。
设过点$P$的直线与线段$AB$相交于点$C$，且$PC \perp AB$。
由于$PA = PB$，$PC$为公共边，且$\angle PCA = \angle PCB = 90°$。
根据三角形的全等性质，$\triangle PCA \cong \triangle PCB$（HL）。
因此，$AC = BC$，即直线$PC$为线段$AB$的垂直平分线。
结论：线段$AB$的垂直平分线过点$P$，且直线$PC$为线段$AB$的垂直平分线。
3. 有下列说法：①若$PA = PB$,$EA = EB$,则直线$PE垂直平分线段AB$；②若$PA = PB$,则点$P必是线段AB$的垂直平分线上的点；③若$EA = EB$,则过点$E的直线垂直平分线段AB$. 其中正确的有(
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
C
)A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案
C
解析
①∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上；∵EA=EB，∴点E在线段AB的垂直平分线上，∵两点确定一条直线，∴直线PE垂直平分线段AB，故①正确；②由线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，∵PA=PB，∴点P必是线段AB的垂直平分线上的点，故②正确；③∵EA=EB，∴点E在线段AB的垂直平分线上，但过点E的直线有无数条，并非所有过点E的直线都垂直平分线段AB，故③错误。综上，正确的有①②，共2个。
4. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB的垂直平分线EF交BC于点E$,交$AB于点F$,点$D为线段CE$的中点,$\angle CAD = 20^{\circ}$,$\angle ACB = 70^{\circ}$.
求证：$BE = AC$.
求证：$BE = AC$.
答案
证明：
1. ∵EF是AB的垂直平分线，∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。
2. 在△ACD中，∠CAD=20°，∠ACD=70°，∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-20°-70°=90°，即AD⊥CE。
3. ∵D为CE中点，∴CD=DE。
4. ∵AD⊥CE且CD=DE，∴AD垂直平分CE。
5. ∴AC=AE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。
6. ∵AE=BE，AC=AE，∴BE=AC。
1. ∵EF是AB的垂直平分线，∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。
2. 在△ACD中，∠CAD=20°，∠ACD=70°，∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-20°-70°=90°，即AD⊥CE。
3. ∵D为CE中点，∴CD=DE。
4. ∵AD⊥CE且CD=DE，∴AD垂直平分CE。
5. ∴AC=AE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。
6. ∵AE=BE，AC=AE，∴BE=AC。
【例 3】请写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假.
(1)两直线平行,内错角相等；
(2)对顶角相等；
(3)等腰三角形有两条边相等；
(4)同角(或等角)的余角相等.
(1)两直线平行,内错角相等；
(2)对顶角相等；
(3)等腰三角形有两条边相等；
(4)同角(或等角)的余角相等.
答案
(1)逆命题：内错角相等，两直线平行；真命题。
(2)逆命题：相等的角是对顶角；假命题。
(3)逆命题：有两条边相等的三角形是等腰三角形；真命题。
(4)逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同角或等角；真命题。
(2)逆命题：相等的角是对顶角；假命题。
(3)逆命题：有两条边相等的三角形是等腰三角形；真命题。
(4)逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角是同角或等角；真命题。
5. 下列命题的逆命题是真命题的是(
A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.如果$a＞0$,$b＞0$,那么$ab＞0$
D.两直线平行,同位角相等
D
)A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.如果$a＞0$,$b＞0$,那么$ab＞0$
D.两直线平行,同位角相等
答案
D
解析
对各选项逐一分析其逆命题是否为真命题：
选项A：原命题“对顶角相等”，其逆命题为“相等的角是对顶角”，这是假命题，因为还有很多其他情况可以使角相等，比如两直线平行时的内错角等。
选项B：原命题“全等三角形的面积相等”，其逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为面积相等不一定三角形就全等，比如底和高分别相等但形状不同的三角形。
选项C：原命题“如果$a＞0$，$b＞0$，那么$ab＞0$”，其逆命题为“如果$ab＞0$，那么$a＞0$，$b＞0$”，这是假命题，因为当$a＜0$，$b＜0$时，$ab$也大于$0$。
选项D：原命题“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”，这是真命题，是平行线的判定定理。
选项A：原命题“对顶角相等”，其逆命题为“相等的角是对顶角”，这是假命题，因为还有很多其他情况可以使角相等，比如两直线平行时的内错角等。
选项B：原命题“全等三角形的面积相等”，其逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为面积相等不一定三角形就全等，比如底和高分别相等但形状不同的三角形。
选项C：原命题“如果$a＞0$，$b＞0$，那么$ab＞0$”，其逆命题为“如果$ab＞0$，那么$a＞0$，$b＞0$”，这是假命题，因为当$a＜0$，$b＜0$时，$ab$也大于$0$。
选项D：原命题“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”，这是真命题，是平行线的判定定理。
6. “若$a = b$,则$a^{2}= b^{2}$”为原命题,则下列判定正确的是(
A.原命题为真命题,逆命题为假命题
B.原命题与逆命题均为真命题
C.原命题为假命题,逆命题为真命题
D.原命题与逆命题均为假命题
A
)A.原命题为真命题,逆命题为假命题
B.原命题与逆命题均为真命题
C.原命题为假命题,逆命题为真命题
D.原命题与逆命题均为假命题
答案
A
解析
原命题：若$a = b$，则$a^{2} = b^{2}$。
这是一个真命题，因为当$a = b$时，$a^{2}$确实等于$ b^{2}$。
逆命题：若$a^{2} = b^{2}$，则$a = b$。
这是一个假命题。
例如，当$a = 2$且$b = -2$时，$a^{2} = 4$且$b^{2} = 4$，但$a$不等于$b$。
因此，原命题为真命题，而逆命题为假命题。
这是一个真命题，因为当$a = b$时，$a^{2}$确实等于$ b^{2}$。
逆命题：若$a^{2} = b^{2}$，则$a = b$。
这是一个假命题。
例如，当$a = 2$且$b = -2$时，$a^{2} = 4$且$b^{2} = 4$，但$a$不等于$b$。
因此，原命题为真命题，而逆命题为假命题。
7. 写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为
对应角相等的三角形是全等三角形
,并判断是假
命题(填“真”或“假”).答案
对应角相等的三角形是全等三角形；假
解析
将原命题的题设和结论互换得到逆命题，原命题题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“它们的对应角相等”，故逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”；对应角相等的三角形是相似三角形，不一定全等，所以是假命题。
