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【例题1】将抛物线$y = 2x^{2}$向上平移$3$个单位长度，就得到抛物线；将抛物线$y = 2x^{2}$向下平移$4$个单位长度，就得到抛物线.
因此，将抛物线$y = ax^{2}$向上平移$k(k ＞ 0)$个单位长度，就得到抛物线；将抛物线$y = ax^{2}$向下平移$m(m ＞ 0)$个单位长度，就得到抛物线.
因此，将抛物线$y = ax^{2}$向上平移$k(k ＞ 0)$个单位长度，就得到抛物线；将抛物线$y = ax^{2}$向下平移$m(m ＞ 0)$个单位长度，就得到抛物线.
答案
思路导引 抛物线$y = ax^{2} + k$的图象由抛物线$y = ax^{2}$平移而得到，口诀：上加下减.
将$y = 2x^{2}$向上平移$3$个单位长度，则$y = 2x^{2} + 3$，向下平移$4$个单位长度，则$y = 2x^{2} - 4$.
将$y = ax^{2}$向上平移$k$个单位长度，则$y = ax^{2} + k$，向下平移$m$个单位长度，则$y = ax^{2} - m$.
答案：$y = 2x^{2} + 3$；$y = 2x^{2} - 4$；$y = ax^{2} + k$；$y = ax^{2} - m$.
【例题2】一条抛物线的开口方向、对称轴与抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}$的相同，顶点纵坐标是$-2$，且抛物线经过点$(1, 1)$.求这条抛物线对应的函数解析式.
答案
思路导引 由$y = \frac{1}{2}x^{2}$的开口方向和对称轴与所求抛物线的开口方向和对称轴相同，可以设出这条抛物线对应的函数解析式，再利用已知条件求解.
解：由题意可知，所求函数开口向上，对称轴是$y$轴，顶点为$(0, -2)$.
所求函数的解析式可设为$y = ax^{2} - 2(a ＞ 0)$，又抛物线经过点$(1, 1)$，$\therefore 1 = a · 1^{2} - 2$. 解得$a = 3$. 故所求函数的解析式为$y = 3x^{2} - 2$.
【例题3】如图，若抛物线的顶点为$A(0, 1)$，矩形$CDEF$的顶点$C$，$F$在抛物线上，$D$，$E$在$x$轴上，$CF$交$y$轴于点$B(0, 2)$，且其面积为$8$.求此抛物线对应的函数解析式.
答案
思路导引 设出函数解析式，再利用已知条件求解.
解：$\because$点$B$的坐标为$(0, 2)$，$\therefore OB = 2$.
$\because$矩形$CDEF$的面积为$8$，$\therefore CF = 4$. $\therefore$点$C$的坐标为$(-2, 2)$.
由题意，所求函数的解析式可设为$y = ax^{2} + c$.
$\because$抛物线经过点$A(0, 1)$和点$C(-2, 2)$，
$\therefore$可得关于$a$，$c$的方程组$\begin{cases}1 = c,\\2 = 4a + c.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{1}{4},\\c = 1.\end{cases}$
$\therefore$此抛物线对应的函数解析式为$y = \frac{1}{4}x^{2} + 1$.
1. 抛物线$y = -\frac{1}{5}x^{2} + 3$不具有的性质是().
A.开口向下
B.对称轴是$y$轴
C.当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.函数有最小值
A.开口向下
B.对称轴是$y$轴
C.当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.函数有最小值
答案
D
2. (1)函数$y = x^{2} + 2$的图象是一条，它的开口，对称轴是，顶点坐标是.
(2)已知函数$y = -3x^{2} - 6$，当$x$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x =$时，$y$有最值，该值为.
(2)已知函数$y = -3x^{2} - 6$，当$x$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x =$时，$y$有最值，该值为.
答案
1. （1）
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其图象是抛物线。
在函数$y=x^{2}+2$中，$a = 1\gt0$，$b = 0$，$c = 2$。
根据二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的性质：
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，把$a = 1$，$b = 0$代入$x =-\frac{b}{2a}$，得$x = 0$（$y$轴）；
把$x = 0$代入$y=x^{2}+2$，得$y=2$，所以顶点坐标是$(0,2)$。
所以函数$y = x^{2}+2$的图象是一条抛物线，它的开口向上，对称轴是$y$轴（或$x = 0$），顶点坐标是$(0,2)$。
2. （2）
对于函数$y=-3x^{2}-6$，其中$a=-3\lt0$，$b = 0$，$c=-6$。
对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×(-3)} = 0$。
因为$a=-3\lt0$，所以抛物线开口向下。
根据二次函数的单调性：当$a\lt0$时，在对称轴$x =-\frac{b}{2a}$右侧（$x\gt-\frac{b}{2a}$），$y$随$x$的增大而减小，所以当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小。
又因为抛物线开口向下，所以当$x = 0$时，$y$有最大值。
把$x = 0$代入$y=-3x^{2}-6$，得$y=-6$。
故答案依次为：（1）抛物线；向上；$y$轴（或$x = 0$）；$(0,2)$；（2）$\gt0$；$0$；大；$-6$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其图象是抛物线。
在函数$y=x^{2}+2$中，$a = 1\gt0$，$b = 0$，$c = 2$。
根据二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的性质：
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，把$a = 1$，$b = 0$代入$x =-\frac{b}{2a}$，得$x = 0$（$y$轴）；
把$x = 0$代入$y=x^{2}+2$，得$y=2$，所以顶点坐标是$(0,2)$。
所以函数$y = x^{2}+2$的图象是一条抛物线，它的开口向上，对称轴是$y$轴（或$x = 0$），顶点坐标是$(0,2)$。
2. （2）
对于函数$y=-3x^{2}-6$，其中$a=-3\lt0$，$b = 0$，$c=-6$。
对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×(-3)} = 0$。
因为$a=-3\lt0$，所以抛物线开口向下。
根据二次函数的单调性：当$a\lt0$时，在对称轴$x =-\frac{b}{2a}$右侧（$x\gt-\frac{b}{2a}$），$y$随$x$的增大而减小，所以当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小。
又因为抛物线开口向下，所以当$x = 0$时，$y$有最大值。
把$x = 0$代入$y=-3x^{2}-6$，得$y=-6$。
故答案依次为：（1）抛物线；向上；$y$轴（或$x = 0$）；$(0,2)$；（2）$\gt0$；$0$；大；$-6$。
3. 将抛物线$y = x^{2}$向上平移$2$个单位长度，可得到抛物线.若向下平移$4$个单位长度，则可得到抛物线.
答案
1. 对于抛物线平移规律：
抛物线$y = a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$）的平移规律是“上加下减常数项，左加右减自变量”。对于抛物线$y=x^{2}$（即$y = 1×(x - 0)^{2}+0$，这里$a = 1$，$h = 0$，$k = 0$）。
2. 当向上平移$2$个单位长度时：
根据“上加下减常数项”的原则，在$y=x^{2}$的基础上，$k$的值增加$2$。
所以得到的抛物线解析式为$y=x^{2}+2$。
3. 当向下平移$4$个单位长度时：
根据“上加下减常数项”的原则，在$y = x^{2}$的基础上，$k$的值减少$4$。
所以得到的抛物线解析式为$y=x^{2}-4$。
故答案依次为：$y = x^{2}+2$；$y = x^{2}-4$。
抛物线$y = a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$）的平移规律是“上加下减常数项，左加右减自变量”。对于抛物线$y=x^{2}$（即$y = 1×(x - 0)^{2}+0$，这里$a = 1$，$h = 0$，$k = 0$）。
2. 当向上平移$2$个单位长度时：
根据“上加下减常数项”的原则，在$y=x^{2}$的基础上，$k$的值增加$2$。
所以得到的抛物线解析式为$y=x^{2}+2$。
3. 当向下平移$4$个单位长度时：
根据“上加下减常数项”的原则，在$y = x^{2}$的基础上，$k$的值减少$4$。
所以得到的抛物线解析式为$y=x^{2}-4$。
故答案依次为：$y = x^{2}+2$；$y = x^{2}-4$。
4. 如果抛物线$y = (a + 1)x^{2} - 4$有最低点，那么$a$的取值范围是.
答案
1. 首先明确抛物线$y = Ax^{2}+Bx + C$（$A\neq0$）的性质：
对于抛物线$y = Ax^{2}+Bx + C$（$A\neq0$），当$A\gt0$时，抛物线开口向上，有最低点；当$A\lt0$时，抛物线开口向下，有最高点。
2. 然后看给定的抛物线$y=(a + 1)x^{2}-4$：
在抛物线$y=(a + 1)x^{2}-4$中，$A=a + 1$，$B = 0$，$C=-4$。
因为抛物线$y=(a + 1)x^{2}-4$有最低点，所以抛物线开口向上。
根据抛物线开口向上时$A\gt0$，这里$A=a + 1$，则$a + 1\gt0$。
3. 最后解不等式$a + 1\gt0$：
解不等式$a+1\gt0$，根据不等式的基本性质，在不等式两边同时减去$1$，得到$a+1-1\gt0 - 1$。
所以$a$的取值范围是$a\gt - 1$。
对于抛物线$y = Ax^{2}+Bx + C$（$A\neq0$），当$A\gt0$时，抛物线开口向上，有最低点；当$A\lt0$时，抛物线开口向下，有最高点。
2. 然后看给定的抛物线$y=(a + 1)x^{2}-4$：
在抛物线$y=(a + 1)x^{2}-4$中，$A=a + 1$，$B = 0$，$C=-4$。
因为抛物线$y=(a + 1)x^{2}-4$有最低点，所以抛物线开口向上。
根据抛物线开口向上时$A\gt0$，这里$A=a + 1$，则$a + 1\gt0$。
3. 最后解不等式$a + 1\gt0$：
解不等式$a+1\gt0$，根据不等式的基本性质，在不等式两边同时减去$1$，得到$a+1-1\gt0 - 1$。
所以$a$的取值范围是$a\gt - 1$。
