20. (6 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = 30^{\circ} $, $ \angle ADC = 45^{\circ} $, $ \angle ACB = 120^{\circ} $, $ D $ 是 $ BC $ 上一点,若 $ CD = 8 $,求 $ BD $ 的长.

8√3

在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=120°，则∠BAC=180°-30°-120°=30°，故∠B=∠BAC，所以AC=BC。
在△ADC中，∠ADC=45°，∠ACD=∠ACB=120°，则∠CAD=180°-120°-45°=15°。
由正弦定理，在△ADC中：$\frac{CD}{\sin\angle CAD}=\frac{AC}{\sin\angle ADC}$。
已知CD=8，∠CAD=15°，∠ADC=45°，$\sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则：
$AC=\frac{CD\cdot\sin45°}{\sin15°}=\frac{8×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=16\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$。
分母有理化得：$AC=16\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=16\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=4\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=8\sqrt{3}+8$。
因为AC=BC，所以BC=8√3+8，故BD=BC-CD=8√3+8-8=8√3。

21. (6 分)已知 $ m $, $ n $, $ k $ 为非负实数,且 $ m - k + 1 = 2k + n = 1 $,求代数式 $ 2k^{2} - 8k + 6 $ 的最小值.

由$m - k + 1 = 1$，可得$m = k$。
由$2k + n = 1$，可得$n = 1 - 2k$。
因为$m$，$n$，$k$为非负实数，所以$k\geqslant0$，$1 - 2k\geqslant0$，解得$0\leqslant k\leqslant\frac{1}{2}$。
对$2k^{2}-8k + 6$进行配方：
$2k^{2}-8k + 6=2(k^{2}-4k + 4 - 4)+6=2(k - 2)^{2}-2$。
函数$y = 2(k - 2)^{2}-2$的对称轴为$k = 2$，开口向上。
因为$0\leqslant k\leqslant\frac{1}{2}$，在这个区间内$y$随$k$的增大而减小。
所以当$k=\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值，$y_{min}=2×(\frac{1}{2}-2)^{2}-2=2×\frac{9}{4}-2=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$。
综上，代数式$2k^{2}-8k + 6$的最小值为$\frac{5}{2}$。