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1. 已知小明准备用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆,则下列工件的弧形凹面一定是半圆的是(
B
)答案
B
解析
根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径。用直角三角板的直角顶点放在弧形凹面边缘，两直角边与边缘交点的连线若为直径，且直角顶点在弧上，则该弧为半圆。观察各选项，只有选项B中直角三角板的直角顶点在弧上，两直角边与弧交于两点，此时这两点连线为直径，所对弧为半圆。
2. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,连接 $OB$,$OD$,$BD$.若$\angle C = 110^{\circ}$,则$\angle OBD$等于(
A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
B
)A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案
B
解析
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠C=110°，∴∠A=180°-∠C=70°。∵∠A是$\overset{\frown}{BCD}$所对的圆周角，∠BOD是$\overset{\frown}{BCD}$所对的圆心角，∴∠BOD=2∠A=140°。∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=(180°-∠BOD)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
3. 如图,$AB$ 是$\odot O$的直径,$OD$垂直于弦 $AC$于点 $D$,$DO$的延长线交$\odot O$于点 $E$.若$AC = 4\sqrt{2}$,$DE = 4$,则 $BC$的长是(
A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$
C
)A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$
答案
C
解析
设⊙O半径为r，OD=x。
∵OD⊥AC，AC=4√2，由垂径定理得AD=DC=2√2。
∵DE=4，且DE=DO+OE，DO=OD=x，OE=r，∴x+r=4，即x=4-r。
在Rt△ADO中，OA²=AD²+OD²，即r²=(2√2)²+x²，代入x=4-r得：
r²=8+(4-r)²，解得r=3，∴x=4-3=1，即OD=1。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又OD⊥AC，∴OD//BC。
∵O是AB中点，∴OD是△ABC中位线，∴BC=2OD=2×1=2。
∵OD⊥AC，AC=4√2，由垂径定理得AD=DC=2√2。
∵DE=4，且DE=DO+OE，DO=OD=x，OE=r，∴x+r=4，即x=4-r。
在Rt△ADO中，OA²=AD²+OD²，即r²=(2√2)²+x²，代入x=4-r得：
r²=8+(4-r)²，解得r=3，∴x=4-3=1，即OD=1。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又OD⊥AC，∴OD//BC。
∵O是AB中点，∴OD是△ABC中位线，∴BC=2OD=2×1=2。
4. 如图,$PA$,$PB$分别与$\odot O$相切于点 $A$,$B$,连接 $PO$并延长与$\odot O$交于点 $C$,$D$.若$CD = 12$,$PA = 8$,则$\sin\angle ADB$的值为(
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
A
)A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
A
解析
连接OA，
∵PA是⊙O切线，
∴OA⊥PA，OA=6（CD=12，半径为6）。在Rt△OAP中，PA=8，OA=6，由勾股定理得PO=√(6²+8²)=10。
∵PA、PB是切线，
∴PO平分∠APB且垂直平分AB，设AB交PO于E。∠ADB是圆周角，所对弧为AB，∠AOB是弧AB所对圆心角，故∠ADB=1/2∠AOB。
∵PO平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOP=∠BOP=α，∠AOB=2α，
∴∠ADB=α=∠AOP。
在Rt△OAP中，sin∠AOP=PA/PO=8/10=4/5，即sin∠ADB=4/5。
∵PA是⊙O切线，
∴OA⊥PA，OA=6（CD=12，半径为6）。在Rt△OAP中，PA=8，OA=6，由勾股定理得PO=√(6²+8²)=10。
∵PA、PB是切线，
∴PO平分∠APB且垂直平分AB，设AB交PO于E。∠ADB是圆周角，所对弧为AB，∠AOB是弧AB所对圆心角，故∠ADB=1/2∠AOB。
∵PO平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOP=∠BOP=α，∠AOB=2α，
∴∠ADB=α=∠AOP。
在Rt△OAP中，sin∠AOP=PA/PO=8/10=4/5，即sin∠ADB=4/5。
