15. 设抛物线 $ y = x^{2} + (a + 1)x + a $,其中 $ a $ 为实数.
(1)若抛物线经过点 $ (-1, m) $,则 $ m = $ ；
(2)将抛物线 $ y = x^{2} + (a + 1)x + a $ 向上平移 2 个单位,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 .

(1)0；
(2)2

(1)将点$(-1, m)$代入抛物线$y = x^{2} + (a + 1)x + a$，得$m=(-1)^{2}+(a+1)(-1)+a=1 - a - 1 + a=0$。
(2)原抛物线$y=x^{2}+(a + 1)x + a$的顶点纵坐标为$\frac{4×1× a-(a + 1)^{2}}{4×1}=\frac{4a-(a^{2}+2a + 1)}{4}=\frac{-a^{2}+2a - 1}{4}=-\frac{(a - 1)^{2}}{4}$。向上平移2个单位后，顶点纵坐标为$-\frac{(a - 1)^{2}}{4}+2$。因为$-\frac{(a - 1)^{2}}{4}\leq0$，所以当$a=1$时，最大值为$0 + 2=2$。

16. 对于任意实数 $ a $,抛物线 $ y = x^{2} + 2ax + a + b $ 与 $ x $ 轴都有公共点,则 $ b $ 的取值范围是 .

$b\leq-\frac{1}{4}$

因为抛物线与x轴都有公共点，所以判别式$\Delta \geq 0$。对于抛物线$y = x^{2} + 2ax + a + b$，其中$A=1$，$B=2a$，$C=a + b$，则$\Delta = B^{2}-4AC=(2a)^{2}-4×1×(a + b)=4a^{2}-4a - 4b$。所以$4a^{2}-4a - 4b\geq0$，化简得$a^{2}-a - b\geq0$，即$b\leq a^{2}-a$。对于二次函数$y = a^{2}-a$，其最小值为$y = (\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$（当$a = \frac{1}{2}$时取得）。因为对于任意实数$a$，$b\leq a^{2}-a$恒成立，所以$b\leq-\frac{1}{4}$。

17. (6 分)已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的顶点在直线 $ y = -4x $ 上,并且图象经过点 $ (-1, 0) $.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)当 $ x $ 满足什么条件时,二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 随 $ x $ 的增大而减小？

(1)$y = x^2 - 2x - 3$；(2)$x ＜ 1$。

(1) 二次函数$y = x^2 + bx + c$的顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2}$，代入直线$y = -4x$得顶点纵坐标为$y = -4×(-\frac{b}{2}) = 2b$。
又顶点纵坐标可表示为$y = (-\frac{b}{2})^2 + b(-\frac{b}{2}) + c = -\frac{b^2}{4} + c$，故$-\frac{b^2}{4} + c = 2b$。
因为函数过点$(-1, 0)$，所以$0 = (-1)^2 + b(-1) + c$，即$c = b - 1$。
联立方程：$-\frac{b^2}{4} + (b - 1) = 2b$，化简得$b^2 + 4b + 4 = 0$，解得$b = -2$，则$c = -2 - 1 = -3$。
二次函数表达式为$y = x^2 - 2x - 3$。
(2) 二次函数$y = x^2 - 2x - 3$中$a = 1 ＞ 0$，对称轴为$x = -\frac{-2}{2×1} = 1$，故当$x ＜ 1$时，函数随$x$的增大而减小。